Плотность распределения

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Функция распределения является универсальной формой задания закона распределения как дискретных, так и непрерывных случайных величин.

Функцией распределения случайной величины X Называется функция F(X), Определенная на всей числовой оси следующим образом:

F(X)= Р(Х < х),

Т. е. F(X) есть вероятность того, что случайная величина X Примет значение меньшее, чем X.

Функцию распределения можно представить графически. Для дискретной случайной величины график имеет ступенчатый вид. Построим, например, график функции распределения случайной величины, заданной следующим рядом (рис. 3.1):

X
P	0.3	0.5	0.2

Рис. 3.1. График функции распределения дискретной случайной величины

Скачки функции происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. В точках разрыва функция F(X) непрерывна слева.

График функции распределения непрерывной случайной величины представляет собой непрерывную кривую.

X

Рис. 3.2. График функции распределения непрерывной случайной величины

Функция распределения обладает следующими очевидными свойствами:

1) , 2) , 3) ,

4) при .

ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА ЗАДАННЫЙ ИНТЕРВАЛ

Будем называть событие, состоящее в том, что случайная величина X Принимает значение Х, Принадлежащее некоторому полузамкнутому интервалу A£ х <B, Попаданием случайной величины на интервал [A, B).

Теорема 3.1. Вероятность попадания случайной величины на интервал [A, B) равна приращению функции распределения на этом интервале:

(3.1)

Если уменьшать интервал [A, B), Полагая, что , то в пределе формула (3.1) вместо вероятности попадания на интервал дает вероятность попадания в точку, т. е. вероятность того, что случайная величина примет значение A:

(3.2)

Если функция распределения имеет разрыв в точке A, То предел (3.2) равен значению скачка функции F(X) в точке Х=A, Т. е. вероятности того, что случайная величина примет значение A (рис. 3.3, А). Если же случайная величина непрерывна, т. е. непрерывна функция F(X), то предел (3.2) равен нулю (рис. 3.3, Б)

Таким образом, вероятность любого конкретного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Однако это не означает невозможности события Х=A, А лишь говорит о том, что относительная частота этого события будет стремиться к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний.

А) Б)

Рис. 3.3. Скачок функции распределения

ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для непрерывных случайных величин наряду с функцией распределения используется еще одна форма задания закона распределения – плотность распределения.

Если – вероятность попадания на интервал , то отношение характеризует плотность, с которой вероятность распределена в окрестности точки X . Предел этого отношения при ,т. е. производная , называется Плотностью распределения (плотностью распределения вероятностей, плотностью вероятности) случайной величины X. Условимся плотность распределения обозначить

.

Таким образом, плотность распределения характеризует вероятность попадания случайной величины в окрестность точки Х.

График плотности распределения называют Кривой расПределения (Рис. 3.4).

Рис. 3.4. Вид плотности распределения

Исходя из определения и свойств функции распределения F(X), нетрудно установить следующие свойства плотности распределения F(X):

1) F(X)³0

2)

3)

4)

Для непрерывной случайной величины в силу того, что вероятность попадания в точку равна нулю, имеют место следующие равенства:

Пример 3.2. Случайная величина X Задана плотностью распределения

Требуется:

А) найти значение коэффициента А;

Б) найти функцию распределения;

В) найти вероятность попадания случайной величины на интервал (0, ).

Решение, А) Воспользуемся свойством 3:

Отсюда получаем: А=1/2.

Б) Если , То

Если то

Если , то

Таким образом,

В) По свойству 4: