Занятие 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность распределения вероятностей
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Непрерывную случайную величину можно задать с помощью функции распределения
F(x) = P( X< x )
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Рассмотрим свойства функции распределения.
Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:
.
Свойство 2. F(x) – неубывающая функция, т.е.
, если 
.
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
.
Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.
Свойство 3.Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b),то 1) F(x)=0 при 
;
2) F(x)=1 при 
.
Следствие.Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:
F(x)=0; 
F(x)=1.
График функции распределения непрерывной случайной величины расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 и изображен на рис.3.
Непрерывную случайную величину можно задать, используя кроме функции распределения F(x), функцию, называемую плотностью распределения или плотностью вероятности.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):
f(x)= 
.
Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле
F(x)= 
,
Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b :
или
Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b.
Плотность распределенияобладает свойствами
Свойство 1.Плотность распределения – неотрицательная функция:
f(x) 
.
Свойство 2.Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от 
до 
равен единице:
=1.
Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.
В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то
=1.
Пример 3.1.Задана плотность распределения вероятности случайной величины Х
f(x)= 
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).
Решение. Искомая вероятность
Пример 3.2. Найти функцию распределения по данной плотноcти распределения:
0 при 
,
f(x)= 1/(b-a)при 
,
0 при 
.
Воспользуемся формулой F(x)= . Если , f(x)=0, следовательно, F(x)=0. Если 
, то f(x)= 1/(b-a), следовательно, F(x)= = 
= 
.
Если x>b, то F(x)= 
+ 
+ 
= 
.
Итак, искомая функция распределения
0 при 
,
F (x)= (x-a)/(b-a)при 
,
1 при 
.
Пример 3.3.Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью f(x), причем
f(x)= 
Требуется: 1) Найти коэффициент a; 2) построить график распределения плотности у= f(x); 3) найти вероятность попадания Х в промежуток (1,2).
Решение. 1) Так как все значения данной случайной величины заключены на отрезке[0,3], то
, откуда
или 
т.е. a = 2/9.
2) Графиком функции f(x) в интервале[0,3] является парабола
,а вне этого интервала графиком служит сама ось абсцисс (рис. 4).
3)Вероятность попадания
случайной величины Х в про-
межуток (1,2) найдется из ра-
венства
Задачи для самостоятельного решения
1. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины Х
f(x)= 
Найти значение параметра a и определить вероятность попадания случайной величины на интервал (3,4).
2. Задана плотность распределения вероятности случайной величины Х: f(x)= cos x при х 
[0, 
вне этого интервала плотность распределения вероятностей равна нулю. Найти функцию распределения.
3. Случайная величина Х задана в интервале (-2,2) плотностью вероятностей f(x)=1/4; вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что в результате трех независимых испытаний случайная величина ровно два раза попадет в интервал (1,2).
Ответы: 1.a=3/64; p(3 
x 4)=0,2969.3. р=0,140025.