Случайные величины и их характеристики

Вероятностью Р(А) события А называется численная мера степени объективной возможности появления этого события. Вероятность события А определяется как отношение числа случаев m, благоприятствующих его появлению, к общему числу случаев n: Р(А) = m/n. Например, рассчитаем вероятность появления грани кубика с четным числом. Здесь m=3 (числа 2, 4, 6), n=6 (числа от 1 до 6). Окончательно, Р(А)= m/n = 3/6=0,5. На практике такой метод определения вероятности применим редко.

В качестве оценки вероятности Р(А) обычно используется отношение частоты w появления события А в n испытаниях: Р(А) » w/n.

Случайной величиной (СВ) называют переменную, которая в результате испытаний принимает одно из возможного множества своих значений, наперед неизвестное.

Для дискретной СВ множество ее возможных значений конечно или счетно (счетность означает реальную или принципиальную возможность перенумеровать его элементы, хотя бы их и было бесконечно много).

Для непрерывной СВ множество ее значений всегда бесконечно и несчетно, например, все действительные числа на отрезке [0, 2]. Вероятность любого ее значения равна нулю: Р(Х=х)=0, а вероятность попадания в интервал не зависит от того, открытый он или закрытый: Р(х1<Х<х2) = Р(х1£Х£х2).

Полной характеристикой СВ является ее закон распределения (ЗР). Законом распределения называют всякое соотношение, которое связывает возможные значения СВ и соответствующие им вероятности.

Для дискретной СВ закон распределения задается формулой или таблично (ряд распределения) (табл. 1.1) или графически (рис. 1.1).

Таблица 1.1

Пример закона распределения дискретной СВ

(ряд распределения)

Х	1.0	1.2	1.8	2.0	2.4	Итого
Р	0.10	0.25	0.30	0.20	0.15	1.00

P
1,0
0,5
	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8		2,0	2,2	2,4	X

Рис. 1.1. Закон распределения дискретной СВ - многоугольник (полигон) распределения вероятностей

Для любой дискретной СВ:

S Р(Х=хi) = S pi = 1.

(1.1)

Две СВ называются независимыми, если ЗР любой из них не зависит от того, какое значение приняла другая СВ.

Для описания СВ обычно используются их числовые характеристики, которые выражают существенные черты. Наиболее важные числовые характеристики: математическое ожидание (МО), дисперсия, среднее квадратическое отклонение (СКО). Числовые характеристики СВ - неслучайные числа.

Математическое ожидание дискретной СВ есть сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

М(Х) = S хipi.

(1.2)

Другие обозначения МО: Е(Х), .

Свойства МО:

1. М(С)=С, если С - константа.

2. М(кХ)=кМ(Х).

3. М(Х±Y) = М(Х) ± М(Y).

4. М(ХY)=М(Х)×М(Y), если Х и Y - независимые СВ.

5. М(Х-а)=0, если а=М(Х).

Дисперсия D(X) случайной величины Х есть МО квадрата ее отклонения от МО:

D(X)=М(Х-М(Х))2 или D(X)=М(Х-а)2, где а=М(Х).

(1.3)

Другое обозначение дисперсии: Var(X). Дисперсия характеризует разброс (вариацию) значений СВ относительно ее МО.

Для дискретной СВ:

D(X) = S (хi-а)2рi

(1.4)

Среднее квадратическое отклонение s_х СВ Х:

sх = .

(1.5)

Свойства дисперсии СВ:

1. D(С)=0, если С=const.

2. D(kX) = k²D(X).

3. D(X) = M(X²) - a², где а = М(Х).

4. D(X+Y) = D(X-Y) = D(X) + D(Y), если Х и Y - независимые СВ.