Криволинейный интеграл
— интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства , но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.
Пусть — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.
— (отрезок параметризации) — рассматриваем часть кривой.
Пусть — разбиение отрезка параметризации , причем .
Зададим разбиение кривой .
За обозначим часть кривой от точки до точки , .
Введем мелкость разбиения отрезка параметризации : .
Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации : .
Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой .
Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой : , , , .
Рассмотрим 4 интегральные суммы.
1. Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:
.
1. Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:
,
,
.
Если , то говорят, что функция интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой , а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции по кривой и обозначают . Здесь — дифференциал кривой.
Если , , , то говорят, что функции , и интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой , а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций , и по кривой и обозначают
Сумму криволинейных интегралов второго рода функций , и также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции и обозначают:
.
Если кривая замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка принято писать .
Точка ветвления или особая точка многозначного характера— особая точка полной аналитической функции, такая, что аналитическое продолжение какого-либо элемента этой функции вдоль замкнутого пути, охватывающего эту точку, приводит к новым элементам этой функции.
Точки ветвления могут быть разделены на две категории:
1. Если при –кратном обходе указанного пути мы вновь получим исходный элемент, тогда данная точка называется точкой ветвления конечного порядка (а именно порядка );
2. Если такого не происходит, то точка будет точкой ветвления бесконечного порядка или логарифмической точкой ветвления
Из теоремы Пуанкаре — Вольтерры прямо следует, что данными двумя случаями варианты точек ветвления исчерпываются.
Формула Коши
Пусть функция аналитическая в односвязной замкнутой области ( ), с кусочно-гладкой границей , ориентированной в положительном направлении (рис. 142), т. е. против часовой стрелки. Тогда имеет место формула Коши
,
где - любая точка внутри контура .
Таким образом, аналитическую функцию достаточно определить на контуре , а по формуле (1) можно автоматически получить ее значения в других точках .