Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной

3.1. Вычислить предел

3.2. Вычислить предел .

3.3. Вычислить предел .

3.4. В точках и для функции установить непрерывность или определить характер точек разрыва.

3.5. Найти производную функции .

3.6. Найти производную функции

3.7. Найти производную функции , применяя метод логарифмического дифференцирования.

3.8. Найти производную функции, заданной неявно: .

3.9. Найти производную функции, заданной параметрически: .

3.10. С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции .

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач

3.1. Раскрытие неопределенности вида .

Рассмотрим отношение функций . Пусть – бесконечно большие функции (б.б.ф.) при , отношение в этом случае называется неопределенным выражением вида . Для нахождения предела неопределенного выражения нужно избавиться от неопределенности (или раскрыть неопределенность).

Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень, а затем перейти к пределу.

Пример 1

,

так как при каждая из дробей стремится к нулю.

Пример 2

.

Пример 3

.

Замечание. Из рассмотренных примеров видно, что предел частного двух многочленов при равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, равны; равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя; равен ¥, если степень числителя больше степени знаменателя.

3.2. Раскрытие неопределенности вида

Рассмотрим отношение функций . Пусть – бесконечно малые функции (б.м.ф.) при , отношение в этом случае называется неопределенным выражением вида .

Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо в числителе и знаменателе выделить критический множитель и сократить на него.

Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует избавиться от иррациональности, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Пример

Вычислить предел .

Решение

При числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель дроби умножим на сопряженное знаменателю выражение, т.е. на сумму , а квадратный трехчлен разложим на множители, найдя для этого его корни:

,

тогда,

.

Таким образом, получим:

.