Непрерывность функций комплексного переменного

Наличие у функции f(z) предела в точке А записывается в виде

и означает следующее: для любой окрестности U_A т. А найдется такая проколотая окрестность т. z₀ , что для всех точек z проколотой окрестности соответствующее значение f(z) лежит в U_A . В такой форме определение предела охватывает и случай z=∞ и А=∞. Под проколотой окрестностью т. z=∞ понимается мн-во |z|>R. Данное определение предела для функции аналогично опред-нию предела для функции действ. переменных. Поэтому важные теоремы сохраняют силу и для фуции компл. переменного. Если функция f(z) определена лишь в области Д , то для граничной точки z₁ не существует проколотой окрестности, в которой задано значение f(z) . Число А наз-ся пределом функции w=f(z) в граничной точке z₁, если для любого ε>0 найдется такое δ>0, что для всех точек проколотой δ-окрестности точки z₁ принадлежащей области Д выполняется неравенство |f(z)-A|<ε. Функция w=f(z), определенная в окрестности (не проколотой!) точки z₀ наз-ся непрерывной в т. z₀, если

Непрерывность функции w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) в т. z₀=x₀+iy₀ эквивалентна непрерывности двух действ-ных функций u(x,y) и v(x,y) двух действ. переменных х и у в т. (x₀,y₀). Функция w=f(z) , определенная в области Д наз-ся непр-ной в этой области, если f(z) непрерывна в каждой точке области Д. Функция w=f(z) наз-ся непр-ой в замкнутой области Д', если она определена в Д' и для каждой т. z₀ из Д выполнено равенство (1). Зафиксируем т. z₀ и возьмем другую т. z из Д. Тем самым аргумент изменяется на величину ∆z=z-z₀=∆x+i∆y, наз-ся приращением аргумента. Соотв-щее изменение функции ∆w=f(x)-f(z₀)=∆u+i∆v наз-ся приращением.

Логариф функция

Логарифмом комплексного числа z называется такое число w, что

exp(w) = z.

Значения логарифмической функции f(z) = Ln(z) вычисляются по формуле

Ln(z) = ln(|z|) + iArg z = ln(|z|) + iarg z + 2kp i, k = 0, .1, .2,...

Величину ln(|z|) + iarg z называют главным значением логарифма.

Функция (z) = Ln(z) является многозначной функцией _ каждому значению аргумента отвечает бесконечное множество различных значений логарифма. Показательная (f(z) = az) и степенная (f(z) = za) функции комплексного переменного определяются с помощью логарифма - для любых комплексных чисел a и z справедливо:

f(z) = az = ezLna;

f(z) = za= eaLnz. Значения обратных тригонометрических функций комплексного переменного вычисляются по формулам:

Тригонометр

Значение целой положительной степени комплексного аргумента, значение функции f(z) = z n , проще всего вычислять в тригнометрической форме.

Если z = x + iy = r (cosj + isinj ), то для любого целого положительного числа n имеет место формула:

w = f(z) = z n = r n (cos nj + isin nj ).

Если w = f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), то

u(x, y) = r ncos nj , u(x, y) = r nsin nj.

Корнем n-й степени из комплексного числа z называется число такое, что wn = z.

Для любого комплексного числа z существует n комплексных чисел w таких, что wn = z.

Значение корня, т.е. значение функции проще всего вычислять в тригнометрической форме.

Если z = x + iy = r (cosj + isinj), то для любого целого положительного числа n имеет место формула: Т.е. функция является многозначной функцией _ каждому значению аргумента отвечает n различных значений корня.

Если w = f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), то Тригонометрические функции комплексного аргумента определяются формулами: Гиперболические функции комплексного переменного определяются совершенно так же, как функции в действительной области:

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

• гиперболический синус:

(в англоязычной литературе обозначается )

• гиперболический косинус:

(в англоязычной литературе обозначается )

• гиперболический тангенс:

(в англоязычной литературе обозначается )

• гиперболический котангенс:

Иногда также определяются

• гиперболические секанс и косеканс:

32.Трансцендентная функция — аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. Простейшими примерами трансцендентных функций служат показательная функция,тригонометрические функции, логарифмическая функция.

Если трансцендентные функции рассматривать как функции комплексного переменного, то характерным их признаком является наличие хотя бы одной особенности, отличной от полюсов и точек ветвления конечного порядка.

Так, например, ; и имеют существенно особую точку (где обозначает вершину сферы Римана — бесконечно удалённую точку комплексной плоскости), — точки ветвления бесконечного порядка при и .

Основания общей теории трансцендентных функций даёт теория аналитических функций. Специальные трансцендентные функции изучаются в соответствующих дисциплинах (теория гипергеометрических, эллиптических, бесселевых функций и т. д.).