Свойства фактической ошибки эконометрической модели

В данном разделе рассматриваются некоторые подходы к проверке наличия стандартных свойств (2.20)–(2.23) у “истинной” ошибки эконометрической модели e_t на основе анализа соответствующих свойств фактической ошибки е_t.

В этой связи сразу следует отметить, что наличие у ошибки е_t каждого из этих свойств не всегда является доказательством присутствия соответствующего свойства и у ошибки e_t. Иными словами, наличие определенных свойств у ошибки е_t не является необходимым условием существования этих свойств и у истинной ошибки e_t. Дело в том, что некоторые свойства фактической ошибки е_t являются своего рода ограничениями на ее значения, которые вытекают из критерия МНК как метода оценки параметров модели, т. е. выполняются практически всегда. В то же время свойства “истинной” ошибки определены теоретическими предпосылками, положенными в основу этой модели. Поэтому вывод о правомочности использования МНК на основе существования таких “априорных” свойств фактической ошибки модели не может считаться обоснованным.

Вместе с тем, если фактическая ошибка е_t не обладает некоторым свойством, то можно говорить о том, что теоретические предпосылки эконометрической модели не подтверждены полученными эмпирическими данными и “качество” ее уравнения не достаточно высоко.

В этой связи отметим, что к “априорным” свойствам фактической ошибки е_t, которые выполняются при использовании МНК всегда, относятся свойства (2.20) и (2.23). Приведем доказательства этого утверждения.

1. Сумма значений фактической ошибки равна нулю

Условие (2.43) является аналогом свойства (2.20), поскольку рассматривается как оценка математического ожидания фактической ошибки.

Использование МНК обеспечивает выполнение условия (2.43) автоматически. В самом деле, дифференцируя сумму квадратов ошибки е_t s² (см. выражение (2.31)) по параметру a₀, получим

Из этого выражения автоматически вытекает, что

2. Произведение транспонированной матрицы Х¢ на вектор фактической ошибки е равно нулевому вектору.

Х¢е=0. (2.44)

Условие (2.44) является аналогом условия (2.23), поскольку произведение каждой строки матрицы Х¢ на вектор e представляет собой скалярное произведение вектора значений соответствующих факторов х_it на вектор ошибки.

Тогда векторно-матричное выражение (2.44) можно представить в виде следующей системы скалярных произведений:

где х_0t º1 для t=1, 2,..., Т.

Для доказательства справедливости выражения (2.44) представим вектор ошибки е в виде разности фактических и расчетных значений независимой переменной y_t

е=у – =у–Х×a.

Получим

Х¢×e=Х¢×(у–Х×a)=Х¢×у–Х¢×Х×a=(Х¢×Х)^–1×Х¢×у–(Х¢×Х)^–1 ×(Х¢×Х)×a=0.

Из (2.44) и (2.45) автоматически следует, что

3. Из условий (2.43) и (2.45) также вытекает, что сумма произведений отклонений расчетных значений независимых переменных от ее среднего значения и расчетных значений ошибки равна нулю.

Раскрывая скобки в выражении (2.47), непосредственно получим

Выражение (2.47) включает в себя также и следующее условие:

означающее, что сумма произведений расчетных значений зависимой переменной и ошибки е_t равна нулю.