Сумма квадратов значений фактической ошибки модели должна быть минимальной

Иными словами, найденные с помощью МНК оценки a₀, a₁,..., a_n, обеспечивают минимум следующей квадратичной формы на множестве всех других комбинаций значений таких оценок:

где e_t – значение фактической ошибки модели в момент t=1,2,..., Т, полученное после подстановки в выражение (1.2) вместо неизвестных истинных значений параметров a₀, a₁,..., a_n их оценок a₀, a₁,..., a_n.

Оптимальные по данному критерию значения оценок в этом случае могут быть найдены путем решения следующей системы так называемых “нормальных” уравнений, вытекающей из условия равенства нулю частных производных функции s²(a₀, a₁,..., a_n) по своим параметрам в точке минимума:

(2.3)

В системе (2.3) неизвестными являются оценки параметров a₀, a₁,..., a_n, а ее известные коэффициенты сформированы на основе исходных данных и представлены в виде следующих сумм: i,j=1,2,..., п. Решения, получаемые на основе развернутой формы системы (2.3), достаточно громоздки, и поэтому в дальнейшем в математических выкладках общего характера будем использовать векторно-матричную форму представления ее составляющих.

Векторно-матричная форма записи линейной эконометрической модели (1.2) имеет следующий вид:

у=Х×a+e, (2.4)

где у – вектор-столбец, состоящий из Т компонент;

Х – матрица размера Т´(п+1) (если в модели присутствует “свободный” коэффициент a₀);

a=(a₀, a₁,..., a_n)¢– вектор-столбец параметров, состоящий из п+1-й компоненты;

e – вектор-столбец ошибки модели, состоящий, как и вектор у, из Т компонент.

Соответственно векторно-матричный вариант модели, в котором вместо неизвестных истинных коэффициентов a и ошибок e используются их оценки, т. е. вектора а и е, запишем в следующем виде:

у=Х×а+е, (2.5)

где а=(а₀, а₁,..., а_n)¢, е=(е₁, е₂,..., е_Т)¢– вектора значений оценок коэффициентов линейной эконометрической модели и значений ее фактической ошибки соответственно.

Сумму квадратов значений ошибки s² можем представить в виде скалярного произведения вектора-строки е¢на вектор-столбец е. Проводя несложные преобразования с учетом правил произведения векторов и матриц, получим следующий результат:

s² =(е¢, е)=(у–Х×a)¢(у–Х×a)= у¢у–a¢Х¢у–у¢Хa+a¢Х¢Хa=

=у¢у–2a¢Х¢у+a¢Х¢Хa. (2.6)

При проведении преобразований учитывалось правило транспонирования векторно-матричного произведения (z×W)¢=(W¢×z¢).

Условие (2.3) в векторной форме записи приобретает следующий вид:

¶s²/¶a=0. (2.7)

Заметим, что в выражении (2.7) операция дифференцирования осуществляется по вектору.

С учетом выражения (2.6) уравнение (2.7) приводится к следующему виду:

¶s²/¶a=¶(у¢у–2a¢Х¢у+a¢Х¢Хa)/¶a=–2Х¢у+2Х¢Хa=0

или

Х¢Хa=Х¢у.

Откуда следует, что “оптимальный” вектор оценок параметров a определяется на основе следующего векторно-матричного выражения:

a=(Х¢Х)^–1×Х¢у. (2.8)

Все переменные в правой части выражения (2.8) являются известными – это исходные данные, сведенные в матрицу Х и вектор у.

Использование метода наименьших квадратов позволяет получить несмещенные и эффективные оценки параметров линейной эконометрической модели при детерминированных значениях независимых переменных в случае конечной выборки, если выполняются следующие положения:

1. Математическое ожидание значений ошибки модели для всех моментов времени t равно нулю, т. е. для t=1,2,...,Т

М[e_t]=0, М[e]=0. (2.20)

2. Значение дисперсии ошибки является постоянной величиной для всех моментов t=1,2,...,Т

s_e²=const. (2.21)

3. Значения ошибки, взятые в различные моменты времени, независимы между собой, т. е. ковариация ошибок e_t, e_t+s, где s=1,2,... равна 0.

cov (e_t , e_t+s) = 0. (2.22)

4. Значения независимых факторов модели и ошибки, рассматриваемые в одни и те же моменты времени, являются независимыми, т. е. их ковариации равны нулю.

cov(х_it , e_t+s) = 0, (2.23)

для i=1, 2, ... , n.

5. Матрица (Х¢Х) является невырожденной. На практике это означает, что факторы х_it, i=1, 2, ... , n независимы между собой, в том смысле, что их выборочные парные коэффициенты корреляции не превосходят некоторого порога r

½r_ij½£r, (2.24)

где r_ij – выборочный коэффициент корреляции между факторами х_i и х_j, i¹ j.

При выполнении условий (2.20)–(2.23) оценки МНК можно считать несмещенными и эффективными. В дальнейшем свойства ошибки эконометрической модели, определенные условиями (2.20)–(2.23), иногда будем называть “стандартными”, а ошибку, обладающую этими свойствами, – “стандартной” ошибкой.

Оценки коэффициентов эконометрической модели со стохастическими независимыми переменными, полученные на основе МНК, являются асимптотически состоятельными и эффективными, если выполняются следующие условия:

[e|Х]=M[e]=0;

[(e×e¢)|Х]=s_e²×E;

e)]=0; (2.42)

Q.

Заметим, что условия (2.42) являются “предельными” аналогами предположений (2.20)–(2.24), имевших место в случае конечной выборки.

Таким образом, выражение (2.8), являющееся результатом МНК, позволяет получить значения оценок коэффициентов линейной эконометрической модели “хорошего качества” и при детерминированных, и при стохастических значениях независимых переменных, если выполняются определенные предпосылки относительно соответствующих свойств ошибки этой модели и наблюдаемых исходных данных.

Однако априорно проверить справедливость этих предпосылок, как правило, не представляется возможным. Обычно это можно сделать, лишь получив информацию о фактической ошибке модели, после того как она была построена.

Для определения свойств фактической ошибки е_t могут быть использованы специальные тесты и процедуры, представленные далее.