Тема 4.1 Дискретные случайные величины

Случайной величиной(СВ) называют такую величину, которая в результате опыта может принимать те или иные значения, причем до опыта мы не можем сказать, какое именно значение она примет. (Бо­лее точно, СВ - это действительная функция, определенная на про­странстве элементарных событий Ω).

Случайные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита -X.Y.Z. Случайные величины могут быть трех типов: дискретные, непрерывные.

Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конеч­ное или бесконечное счетное число значений. Например, подбрасываем монету 5 раз. Случайная величина X— число появлений герба: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Пусть X - дискретная случайная величина, которая принимает значения: х₁, х₂ …, х_n… с некоторой вероятностью p_i , где i = 1, 2,... , n,...Тогда можно говорить о вероятности того, что случайная величи­на X приняла значение х_i: Pi=P(X=хi).

Значения х_i, и соответствующие p_i представляют в виде таблицы:

xi	x1	x2	xз	…	xn	…
pi	p1	p2	p3	…	pn	…

Эта таблица является одной из форм задания ДСВ. Обычно случайные величины располагаются в возрастающем порядке.

Основное свойство таблицы заключено в том, что сумма вероятностей равна1:

= p₁ + p₂ + p₃ +…+ p_n +…=1.

Дискретная случайная величина может быть представлена также в виде многоугольника распределения - фигуры, состоящей из точек (x_i , p ), соединенных отрезками:

На практике нет необходимости характеризовать величину пол­ностью. Обычно достаточно указать только отдельные числовые па­раметры распределения. Такие числовые параметры принято называть числовыми характеристиками распределения.

Математическим ожиданием М(Х) ДСВ Xназывается среднее значение случайной величины:

Свойства математического ожидания:

1) М(С) = С, где C=const;

2) М(СХ) = СМ(Х);

3) M(X±Y) = М(Х) + М(Y);

4) Если случайные величины X и Y независимы, то M(XY) = M(X) M(Y).

Дисперсия служит для характеристики рассеяния СВ относительно ее математического ожидания и характеризует форму кривой рас­пределения. Она является более полной оценкой ДСВ.

Пример 1. Пусть заданы СД X и Y:

xi	-1
pi	0,5	0,5

yi	-100
pi	0,5	0,5

M(X) = -1 0,5+1 0,5=0, M(Y)= -100 0,5+100 0,5=0

Хотя математиче­ские ожидания равны, однако случайные величины X и Y явно различ­ны, поэтому для характеристики случайной величины одного матема­тического ожидания недостаточно и необходимо ввести другие характеристики, одна из них дисперсия.

ДисперсиейДСВ X называется математическое ожидание квадра­та отклонения СВ от ее математического ожидания:

D(X)=M((X-M(X))² или D(X)=M(X²)-(M(X))², где

Найдем дисперсию СД Х (из вышеуказанной таблицы)

M(X²)=(-1)²*0,5+1²*0,5=1

D(X)=1-0²=1

Дисперсия характеризует средний квадрат отклонения ДСВ, по­этому на практике часто используют в качестве характеристики раз­броса среднее квадратическое отклонение (X)= , которое имеет ту же размерность, что и СВ X.