Дискретные случайные величины. 1). Независимые дискретные случайные величины X1, X­2, .X21 принимают только значения 1 и 4

1). Независимые дискретные случайные величины X₁, X­₂,….X₂₁ принимают только значения 1 и 4. Найти наиболее вероятное значение суммы S=X₁+X₂+…+X₂₁, если Р(X₁=4)=3/5.

Решение.

2) Независимые дискретные случайные величины X₁, X­₂,….X₁₈ принимают только значения 2 и 4. Найти P(X₁+X­₂,….+X₁₈=42), если P(X₁=4)=0.1

Решение.

3). Независимые дискретные случайные величины Х,Y принимают только целые значения: Х от 1 до 13 с вероятностью 1/13, У от 1 до 20 с вероятностью 1/20. Найти вероятность Р(Х+У=26)

Решение.

4). Случайная величина Х принимает только целые значения 1,2,…29. При этом вероятности возможных значений Х пропорциональны значениям, Р(Х=к)=ск. Найти с и Р(X>3).

Решение.

5). Независимые случайные величины Х₁,…Х₄ принимают только целые значения от 0 до 6 с вероятностью 1/7. Найти Р(Х₁+…+Х₄=2)

Решение.

6). Независимые случайные величины Х, Y, Z принимают только целые значения: Х – от 0 до 7 с вероятностью 1/8, У – от 0 до 9 с вероятностью 1/10 и Z – от 0 до 11 с вероятностью 1/12. Найти P(X+Y+Z=5).

Решение.

7). Независимые случайные величины Х, У принимают только целые значения: Х от 1 до 15 с вероятностью 1\15, У – от 1 до 5 с вероятностью 1/5. Найти Р(X<Y)

Решение.

8). Независимые случайные величины Х,У принимают только целые значения. Х – от 1 до 13 с вероятностью 1/13, У от 1 до 16 с вероятностью 1/16. Найти Р(X+Y<6).

Решение.

9). Независимые случайные величины Х,У принимают только целые значения: Х – от -7 до 7 с вероятностью 1/15, У – от -6 до 6 с вероятностью 1/13. Найти Р(ХУ=0)

Решение.

10). Независимые случайные величины Х,У принимают только целые значения: Х – от -8 до 6 с вероятностью 1/15, У – от -5 до 9 с вероятностью 1/15. Найти Р(ХУ>0)

Решение.

11) Независимые случайные величины Х,У принимают только целые значения: Х – от -7 до 6 с вероятностью 1/14, У – от -6 до 9 с вероятностью 1/16. Найти Р(ХУ<0)

Решение.

12). Независимые случайные величины Х₁,…Х₉ принимают только целые значения от 0 до 3 с вероятностью ¼. Найти Р(Х₁Х₂…Х₉=0)

Решение.

13). Независимые случайные величины X,Y,Z принимают только целые значения. Х – от 1 до 12 с вероятностью 1/12, У – от 1 до 8 с вероятностью 1/8, Z – от 1 до 6 с вероятностью 1/6. Найти вероятность того что X, Y, Z примут разные значения.

Решение.

14). Независимые случайные величины X,Y,Z принимают только целые значения. Х – от 1 до 10 с вероятностью 1/10, У – от 1 до 9 с вероятностью 1/9, Z – от 1 до 7 с вероятностью 1/7. Найти Р(X<Y<Z)

Решение.

15). Независимые случайные величины Х₁,…Х_n принимают только целые значения 1, 2,…7. с вероятностью 1/7. Найти вероятность того, что наибольшее из чисел Х₁,…Х_n будет равно 6.

Решение.

16). Независимые случайные величины Х₁…Х₄₀ принимают только положительные ли отрицательные значения. Найти вероятность того, что произведение Y=X₁X₂…X₄₀>0, если Р(Х₁>0)=98

Решение.

17). Распределение дискретной с.в. Х задано таблицей.

Найти m=M[X]и P(X<m).

Решение.

18). Дискретная с.в. Х принимает только целые значения 3,4,7,8,10 с вероятностью 1/5. Найти m=M[X] и P(X<m).

Решение.

19). Распределение дискретной с.в. Х задано таблицей.

Найти дисперсию D[X].

Решение.

20). Дискретные с.в. Х₁, Х₂…Х­₉ распределены по одному закону заданному таблицей. Найти

Решение.

21). Независимые с.в. X₁, X₂,…X₆ принимают значения -8,-7,….,11,12 с вероятностью 1/21. Найти M[X₁X₂,…X₆].

Решение.

22. Распределение с.в Х задано таблицей.

Найти m=M[X], σ=σ[X] и P(|X-m|<σ)

Решение.

23). Дано: M[X]=8, M[Y]=6, Cov[X,Y]=7. Найти M[XY].

Решение.

24). Дано: D[X]=4, D[Y]=5, Cov[X,y]=3, M[X]=70, M[Y]=30. Найти M[X-Y] и D[X-Y].

Решение.

25). Для независимых с.в. Х₁…Х₆ известно, что M[X_i]=0, D[X_i]=2.9, i=1,..6. Найти D[X₁…X₆]

Решение.

26). Для независимых случайных величин Х₁,Х₂,Х₃ известно, что М[X]=3, M[Y]=1, D[Xi]=1.1, i=1,2,3. Найти D[Х₁Х₂Х₃].

Решение.

27). Для независимых с.в. Х У известно, что M[X]=3, M[Y]=1,D[X]=8, D[Y]=4. Найти D[XY].

Решение.

28). Независимые случайные величины Х_1­,…,Х₂₀ могут принимать только значения 0 и 1. При этом P(Xi=0)=0.8, i=1,…20. Найти M[(X₁+…+X_20­)²].

Решение.

29). Независимые дискретные с.в. Х и У могут принимать только значения 0 и 1. При этом Р(Х=0)=0,2, Р(У=0)=0,1 Найти М[(X+Y)²].

Решение.

30). Независимые дискретные с.в. Х и У могут принимать только значения 0 и 1. При этом Р(Х=0)=0,2, Р(У=0)=0,6 Найти М[(X-Y)²].

Решение.

31). Независимые случайные величины Х₁,…Х₄ могут принимать только значения 0 и 1. При этом P(X_i=0)=0.6, i=1,…4. Найти M[2^x1-…x4]

Решение.

32). Независимые дискретные случайные величины Х и У могут принимать только значения 0 и 1. При этом Р(Х=0)=0,6, Р(У=0)=0,4. Найти M[2^x+y]

Решение.

33). Независимые дискретные случайные величины Х и У могут принимать только значения 0 и 1. При этом Р(Х=0)=0,4, Р(У=0)=0,8. Найти M[4^x-y]

Решение.

34). Вероятность выигрыша 3 рублей в одной партии равна 2/5. Вероятность проигрыша 2 рублей равна 3/5. Найти дисперсию капитала игрока после 6 партий.

Решение.

35). С.в. Х и У принимают только значения 0 и 1. Найти дисперсию D[X-Y], если Р(Х=1)=Р(У=1)=0,1, а коэффициент корреляции Х и У равен 0,2.

Решение.

36). Дано: M[X]=M[Y]=8, D[X]=D[Y]=80. Коэффициент корреляции Х и У равен 0,1. Найти M[(X+Y)²]

Решение.

37). Для случайной величины Х известно, что M[X]=5, M[|X|]=8, D[|X|]=70. Найти D[X].

Решение.

38). Производится 2560 независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываются 6 монет. Пусть Х – число испытаний, в которых выпало 3 герба. Найти M[X].

Решение.

39). Производится 13 независимых испытаний с вероятностью успеха 0,8 в каждом испытании. Пусть Х – число успехов в испытаниях с номерами 1,2,…,9; У – число успехов в испытаниях с номерами 5,6,…13. Найти дисперсию D[X+3Y]/

Решение.

40). Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываются 4 игральные кости. Пусть Х – число испытаний, в которых все выпавшие цифры оказались ≥4. Найти дисперсию D[X].

Решение.

41). В спортивной лотереи каждую неделю на 100 билетов разыгрывается 11 палаток и 11 рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найти среднее время реализации данного решения (ед времени – неделя)

Решение.

42). Тоже самое.

43). В серии независимых испытаний, которые проводятся с частотой одно испытание в ед времени, вероятность наступления события А в одном испытании равна 1/10. Пусть Т – время ожидания наступления события А 19 раз (за все время ожидания). Найти M[T] и D[T].

Решение.

44)Случайная составляющая выручки равна 5Х, где Х – биномиальная случайная величина с параметрами n=200 и p=1/2. Случайная составляющая затрат имеет вид 30У, где У – пуассоновская с.в. Найти дисперсию прибыли, считая что Х и У – независимы, а M[Y]=4

Решение.

45). Для пуассоновской с.в. Х отношение Р(Х-14)/Р(Х-13)=10. Найти M[X]

Решение.

46). С.в. Х₁…Х₁₀₀ распределены по биномиальному закону с параметрами n=3 и p=3/5. Найти M[X₁²+….X₁₀₀²]

Решение.

47). С.в. Х₁…Х₁₄ распределены по геометрическому закону, M[X₁]=…=M[X₁₄]=2. Найти М[X₁²+…­­+X₁₄²].

Решение.

48). С.в. Х₁…Х₈ распределены по закону Пуассона, М[X₁]=…M[X₈]=10. Найти М[X₁²+…­­+X₈²].

Решение.

50). С.в. Х и У распределены по закону Пуассона. Найти дисперсию D[3X+5Y] если M[X]=M[Y]=100., а коэффициент корреляции Х и У равен 0,8

Решение.

52). Независимые с.в Х₁…Х₁₁ распределены по закону Пуассона. Найти M[(X₁+…+X₁₁)²] если M[X₁]=…=M[X₁₁]=1

Решение.

53). Независимые с.в Х₁…Х₆ распределены по геометрическому закону. Найти M[(X₁+…+X₆)²] если M[X₁]=…=M[X₆]=4

Решение.

Непрерывные случайные величины.

1). Случайная величина Х имеет функцию распределения F(x). С.в. Y=4X+9 имеет функцию распределения G(x). Выразить G(x) через F(x)/

Решение.

2). Случайная величина Х имеет непрерывную функцию распределения F(x). С.в. Y=8-9X имеет функцию распределения G(x). Выразить G(x) через F(x).

Решение.

3). Распределение с.в. Х задано плотностью вероятности f(x). Найти плотность вероятности с.в. Y=2X+7.

Решение.

4). С.в. Х равномерно распределена на отрезка [-9,6]. Найти P(1/х>4).

Решение.

5). С.в. Х равномерно распределена на отрезке [-9,10]. Найти Р(Х²>9)

Решение.

6). С.в. Х, У независимы и равномерно распределены на отрезках: Х – на [0,3], Y – [0,2]. Найти Р(X<Y).

Решение.

7). С.в. Х равномерно распределена на отрезке [-1,1]. Найти М[X^5/13]

Решение.

8). С.в. Х равномерно распределена на отрезке [-1,1]. Найти D[X^5/13]/

Решение.

9). С.в. Х равномерно распределена на отрезке [0,1]. Найти D[13X^5/8].

Решение.

10). С.в. Х равномерно распределена на отрезке [1,9]. Найти D[24X+11]/

Решение.

11). С.в. Х, У независимы и равномерно распределены на отрезке [9,10]. Найти М[12(X-Y)²].

Решение.

12). С.в. Х равномерно распределена на отрезке [1,8]. Найти вероятность .

Решение.

13). С.в. X₁, X₂…X₄ независимы и распределены по показательному закону. Найти если М(Х₁)=….=М(Х₄)=3

Решение.

14).С.в. Х распределена по показательному закону. Найти М[(X+9)²], если D[X]=64

Решение.

15). С.в. Х распределена по показательному закону. Найти lnP(X<9), если D[X]=100.

Решение.

16). С.в. Х распределена по показательному закону. Найти Р(18<X<36), если M[X]=9/ln2.

Решение.

17). Функция плотности вероятности с.в. Х имеет вид f(x)=0, x<10; C/x³, x>_10.

Найти С и Р(Х<11).

Решение.

18). Функция плотности вероятности с.в. Х имеет вид f(x)=0, x<12; C/x⁴, x>_12.

Найти С и М[Х].

Решение.

19). Для нормальной с.в. Х с М[X]=11 и D[X]=9 найти Р(X>8.3).

Решение.

20). Для нормальной с.в. Х с М[X]=28 и D[X]=64 найти Р(X<26.4).

Решение

21). Для нормальной с.в. Х с М[X]=7 и D[X]=4 найти Р(5.8<X<9.4).

Решение.

22). Независимые нормальные случайные величины Х₁, Х₂, …Х₈ имеют одинаковые математические ожидания М[X₁]=…=M[X₈] = 70. Найти вероятность того, что из всех X_i только 3 величины будут больше 70.

Решение.

23). Для нормальной с.в. Х M[X]=2.1 и D[X]=9 найти P(|X|>1.2)

Решение.

24). Для нормальной случайной величины Х известно, что M[X]=24.3 и P(X<39)=0.98214. Найти D[X].

Решение.

25). Для нормальной случайной величины Х известно, что D[X]=49 и P(X<40)=0.81594. Найти m=М[X].

Решение.

26). Математическое ожидание и дисперсия независимых нормальных случайных величин Х,Y,Z,U равны 1. Найти P(X-Y+Z+U)<1.

Решение.

27). Для независимых нормальных случайных величин X, Y известны их мат. Ожидания и дисперсии: M[X]=15, M[Y]=19.9, D[X]=5, D[Y]=44. Найти Р(X<Y).

Решение.

28). Независимые нормальные случайные величины X₁…X₂₅ имею одинаковые параметры: M[X_i]=2, D[X_i]=σ², i=1…25. Для S=X₁+…+X₂₅ найти P(|S-50|<13/2* σ).

Решение.