ПОКАЗАТЕЛИ СОВОКУПНОГО ВЛИЯНИЯ ФАКТОРОВ НА РЕЗУЛЬТАТ – КОЭФФИЦИЕНТ МНОЖЕСТВЕННОЙ ДЕТЕРМИНАЦИИ ИКОЭФФИЦИЕНТ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

Коэффициенты множественной детерминации и корреляциихарактеризуют совместное влияние всех факторов на результат. Кроме того, они используются как показатели качества уравнения множественной регрессии.

Коэффициент множественной детерминации – это теоретический коэффициент детерминации - R²_y(x1,...,xm) для случая множественной регрессии. По аналогии с парной линейной регрессией он определяется, как отношение дисперсии признака-результата, объясненной уравнением множественной регрессии - d², к общей дисперсии признака-результата - s²_y. Область допустимых значений R²_y(x1,...,xm) от нуля до единицы. Данный показатель характеризует долю вариации признака-результата, объясненную уравнением регрессии (а, следовательно, и факторами включенными в данное уравнение), в общей вариации признака-результата.

Для линейного уравнения регрессии данный показатель может быть рассчитан через b-коэффициенты, как: .

! Важное свойство коэффициента детерминации состоит в том, что это неубывающая функция от числа факторов, т.е. включение в модель любого дополнительного фактора x_m+1 не приведет к снижению коэффициента детерминации: R² _y(x1,…xm) £R² _{y(x1,…xm,xm+1)}.

Для того чтобы значения R² были сравнимы по разным моделям необходимо учесть число независимых переменных в модели. Это можно сделать, если определить коэффициент детерминации не через сумму квадратов, а через дисперсии на 1 степень свободы. В результате получим скорректированный коэффициент детерминации - R²_скор:

где h- общее число параметров в уравнении регрессии (в случае линейной регрессии h=m+1);

n- число наблюдений.

Если n велико, то R² и R²_скор будут незначительно отличаться.

Коэффициент множественной корреляции - R_y(x1,...,xm) рассчитывается как корень из коэффициента множественной детерминации: .

Данный показатель аналогичен линейному парному коэффициенту корреляции - r_x,y, используемому в парном регрессионном анализе. Но в отличие от него R_y(x1,...,xm) может принимать значения только от нуля до единицы, следовательно, не может служить характеристикой направления связи. Таким образом, при значении R_y(x1,...,xm) близкомк единице уравнение регрессии лучше описывает фактические данные, и факторы сильнее влияют на результат; при значении R_y(x1,...,xm) близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

Для нашего примера :

,

®1, что свидетельствует о сильной множественной корреляции факторов х1 и х2 с результатом.

Сравним двухфакторную модель с однофакторной (х1) и выберем лучшую.

;

.

Так как скорректированный коэффициент детерминации для двухфакторной модели больше, чем для однофакторной, то двухфакторная модель лучше.