Зависимость затрат на ремонт оборудования

От продолжительности его эксплуатации

Порядковый номер – i	Возраст – , лет	Затраты на ремонт – , у.е.
		1,5
		2,0
		1,4
		2,3
		2,7
		4,0
		2,3
		2,5
		6,6
		1,7

Таблица 1.11.6

Расчетные показатели

i
	4,00	1,50	16,00	64,00	256,00	6,00	24,00
	5,00	2,00	25,00	125,00	625,00	10,00	50,00
	5,00	1,40	25,00	125,00	625,00	7,00	35,00
	6,00	2,30	36,00	216,00	1296,00	13,80	82,80
	8,00	2,70	64,00	512,00	4096,00	21,60	172,80
	10,00	4,00	100,00	1000,00	10000,00	40,00	400,00
	8,00	2,30	64,00	512,00	4096,00	18,40	147,20
	7,00	2,50	49,00	343,00	2401,00	17,50	122,50
	11,00	6,60	121,00	1331,00	14641,00	72,60	798,60
	6,00	1,70	36,00	216,00	1296,00	10,20	61,20
	70,00	27,00	536,00	4444,00	39332,00	217,10	1894,10

Таблица 1.11.7

Расчетные показатели

i
	0,6021	0,3625	0,9031	0,1761	0,7044	0,2500	0,0625	0,3750
	0,6990	0,4886	1,3979	0,3010	1,5051	0,2000	0,0400	0,4000
	0,6990	0,4886	0,9786	0,1461	0,7306	0,2000	0,0400	0,2800
	0,7782	0,6055	1,7897	0,3617	2,1704	0,1667	0,0278	0,3833
	0,9031	0,8156	2,4383	0,4314	3,4509	0,1250	0,0156	0,3375
	1,0000	1,0000	4,0000	0,6021	6,0206	0,1000	0,0100	0,4000
	0,9031	0,8156	2,0771	0,3617	2,8938	0,1250	0,0156	0,2875
	0,8451	0,7142	2,1127	0,3979	2,7856	0,1429	0,0204	0,3571
	1,0414	1,0845	6,8732	0,8195	9,0150	0,0909	0,0083	0,6000
	0,7782	0,6055	1,3229	0,2304	1,3827	0,1667	0,0278	0,2833
	8,2490	6,9805	23,8936	3,8281	30,6591	1,5671	0,2680	3,7038

По формулам (1.11.8) и (1.11.11-1.11.13) вычислим МНК-оценки параметров:

1) линейной модели

, ;

2) полулогарифмической модели

, ;

3) экспоненциальной модели

, ,

, ;

5. гиперболической модели

, .

Для нахождения МНК-оценок параметров параболической модели, используя суммы в итоговой строке табл. 1.11.6, запишем систему уравнений (1.11.15):

. (1.11.26)

Решаем систему (1.11.26) по формулам Крамера (определители матрицвычисляются в Excel с помощью функцииМОПР()):

, ,

, ,

, , .

Таким образом, получены следующие регрессионные модели зависимости затрат на ремонт торгового оборудования от продолжительности его эксплуатации:

, (1.11.27)

. (1.11.28)

, (1.11.29)

, (1.11.30)

. (1.11.31)

Для вычисления средних ошибок аппроксимации построенных моделей по формуле (1.11.19) составим расчетную табл. 1.11.8.

Таблица 1.11.8

Расчетные показатели

	Линейная модель	Полулога-рифмическая модель	Экспонен-циальная модель	Гиперболи-ческая модель	Параболи- ческая модель
1,50	0,87	0,421	0,65	0,569	1,35	0,098	0,98	1,653	1,18	0,215
2,00	1,48	0,261	1,54	0,230	1,64	0,180	0,20	0,902	1,54	0,229
1,40	1,48	0,056	1,54	0,100	1,64	0,172	0,20	0,860	1,54	0,102
2,30	2,09	0,091	2,27	0,013	1,99	0,135	0,98	0,574	1,99	0,135
2,70	3,31	0,227	3,42	0,267	2,93	0,085	1,96	0,274	3,13	0,159
4,00	4,53	0,134	4,31	0,079	4,31	0,077	2,55	0,363	4,60	0,150
2,30	3,31	0,440	3,42	0,487	2,93	0,273	1,96	0,148	3,13	0,361
2,50	2,70	0,080	2,89	0,155	2,41	0,034	1,54	0,384	2,52	0,008
6,60	5,15	0,220	4,70	0,289	5,23	0,208	2,76	0,582	5,46	0,173
1,70	2,09	0,229	2,27	0,335	1,99	0,171	0,98	0,424	1,99	0,171
		2,160		2,523		1,433		6,163		1,701

Умножая суммы, записанные в итоговой строке табл. 1.11.8, на , вычислим средние ошибки аппроксимации линейной, полулогарифмической, экспоненциальной, гиперболической и параболической моделей, равные соответственно 21,60%, 25,23%, 14,33%, 61,63% и 17,01%.

Наименьшую ошибку имеет экспоненциальная модель (1.11.9). Поэтому рассматриваемая зависимость затрат на ремонт оборудования от времени его эксплуатации более точно описывается экспоненциальной моделью. На рис. 1.11.2 (с помощью Excel) построены точки поля корреляции в виде треугольников и прямоугольников и соответствующие точки экспоненциальной модели в виде ромбов.

Рис. 1.11.2. Точки поля корреляции и соответствующие

точки экспоненциальной модели зависимости затрат на ремонт

оборудование от времени его эксплуатации

Проверим на значимость МНК-оценки параметров экспоненциальной модели (1.11.29). Для этого, логарифмированием преобразуем ее к линейной модели:

lg (1.11.32)

и проверим на значимость МНК-оценки параметров линейной модели (1.11.32).

Предварительно вычислим среднеквадратичные отклонения по формулам (1.11.17), заменяя y на (табл. 1.11.9).

Таблица 1.11.9

Расчетные показатели

i			lg	lg	(lg lg 2
			0,1761	0,1303	0,0021
			0,3010	0,2148	0,0074
			0,1461	0,2148	0,0047
			0,3617	0,2989	0,0040
			0,4314	0,4669	0,0013
			0,6021	0,6345	0,0011
			0,3617	0,4669	0,0111
			0,3979	0,3820	0,0003
			0,8195	0,7185	0,0102
			0,2304	0,2989	0,0047
					0,0467

Используя суммы в итоговой строке табл. 1.11.9 вычислим:

, , .

1. Вычислим эмпирические значения (1.11.16):

, .

2. Критическое значение найдем в таблице П4 по уровню значимости и числу v = 8.

3. Так как , то с вероятностью 0,95 МНК-оценки параметров модели (1.11.32) и, следовательно, экспоненциальной модели (1.11.29) следует признать значимыми.

По экспоненциальной модели оценим зависимость затрат на ремонт оборудования от времени его эксплуатации с помощью индекса корреляции.

Составим расчетную таблицу (1.11.10).

Таблица 1.11.10

Расчетные показатели

i		( 2		( 2
	1,5	1,44	1,35	1,82
	2,0	0,49	1,64	1,12
	1,4	1,69	1,64	1,12
	2,3	0,16	1,99	0,50
	2,7	0,00	2,93	0,05
	4,0	1,69	4,31	2,59
	2,3	0,16	2,93	0,05
	2,5	0,04	2,41	0,08
	6,6	15,21	5,23	6,40
	1,7	1,00	1,99	0,50
	27,0	21,88	26,42	14,26

Используя суммы, записанные в итоговой строке табл. 1.11.10, вычислим:

среднее значение результативного признака

,

общую дисперсию

,

и факторную дисперсию

.

По формуле (1.11.24) вычислим индекс корреляции

.

Проверим на значимость полученное значение индекса корреляции:

1) вычислим эмпирическое значение по формуле (1.11.25):

;

2) в табл. П5 по уровню значимости 0,05 и числам и найдем критическое значение: .

Так как , то с вероятностью значение индекса корреляции следует признать значимым.

Таким образом, зависимость затрат на ремонт оборудования от продолжительности его эксплуатации является сильной (табл. 1.11.1).

Упражнение 1.11.2.По данным упражнения 1.11.1 постройте все рассмотренное регрессионные модели и вычислите их средние ошибки аппроксимации. По наилучшей модели оцените связь между признаками у и х.