Основные свойства линейных операций
Для любых векторов и любых действительных чисел l и
m справедливы следующие свойства:
1) ; 2)
;
3) , где
- нулевой вектор;
4) для каждого вектора вектор
является противоположным, т.е.
;
5) ; 6)
;
7) ; 8)
.
Разностью двух векторов называется сумма вектора
и вектора
, противоположного
:
.
Пример.По данным векторам и
требуется построить векторы
и
.
Решение.Отнесем векторы и
к одному началу. Далее см. рис. 3.
Рис. 3. Построение вектора
Проекция вектора на ось
Пусть даны вектор и ось l (рис. 4).
Проекций вектора на ось l называется длина отрезка
между основаниями перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось l:
.
|



Рис.4. Проекция вектора на ось
Свойства проекций
1) Проекция равна нулю (т.е. совпадает с
) тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен к оси (см. рис. 4, в).
2) При параллельном переносе вектора его проекция не меняется.
3) – проекция вектора
на ось l равна модулю вектора,
умноженному на косинус угла между вектором и осью (см. рис. 4, г).
4) имеет место для любого конечного числа векторов.
5) , если вектор
умножить на число l, то его проекция тоже умножается на это число.
Пример. Найдите проекцию вектора на ось l, если
, а угол j между осью и вектором равен
.
Решение.По свойству 3): .
.
Пример.Найдите проекцию суммы векторов +
+
на ось l, если
и угол j между векторами
,
,
и осью l соответственно равен
.
Решение. По свойству 4): .
Вычислим проекцию каждого из векторов ,
,
на ось l, получим:
;
;
.
Тогда искомая проекция суммы
.
Формула для вычисления координат вектора
Пусть даны координаты точек и
в пространстве.
Рис.5. Вычисление координат вектора
Так как (рис. 5), а координаты радиусов-векторов
и
равны соответственно
и
, то
(2)
Таким образом, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца М2 вычесть координаты его начала М1.
Пример.Даны точки и
. Найдите координаты вектора
.
Решение.По формуле (2) координаты вектора
=
.
Линейные операции над векторами,
Заданными своими координатами
1. Сумма (или разность) векторов. Пусть даны два вектора и
. Найдём
.
(3)
При сложении (вычитании) векторов складываются (вычитаются) их соответствующие координаты.
2. Умножение вектора на число. Пусть дан вектор , l – любое действительное число. Найдём l
:
. (4)
При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Пример. Даны векторы и
. Найдите координаты векторов
,
,
.
Решение. По формуле (3):
;
= {2; 3; 3},
= {2; - 9; 7}.
По формулам (3), (4):
= {6; - 33; 23}.