Свойства линейных операций над матрицами

1. А + В = В + А; 2. А + (В + С) = (А + В) + С;

3. А + 0 = А (0 – нулевая матрица); 4. А – В = А + (– 1) ∙ В;

5. А + (– А) = 0; 6. 1 ∙ А = А;

7. (α + β) А = αА + βВ; 8. α(А + В) = αА + αВ;

9. α(βА) = (αβ)А, где А, В, С – матрицы, α и β – скаляры (любые действительные числа)

● Под элементарными преобразованиями матриц понимают следующие действия:

1) умножение всех элементов какой-либо строки (или столбца) на действительное число λ ¹ 0;

2) прибавление к элементам какой-либо строки (или столбца) величин, пропорциональных элементам другой строки (или столбца) (замена элементов строки (столбца) линейными комбинациями соответствующих элементов других строк (столбцов);

3) перестановку местами двух строк (или столбцов).

Матрицы называются эквивалентными, если одна может быть получена из другой с помощью элементарных преобразований.

● Если в прямоугольной матрице , размера n ´ m выделим k столбцов и k строк, причем k не больше наименьшего из чисел m и n и составим определитель из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, то полученные указанным способом определители называются минорами матрицы А. Наивысший возможный порядок минора прямоугольной матрицы размера n ´ m равен наименьшему из чисел m и n. Для квадратной матрицы размера n наибольший возможный порядок минора равен n.

● Определение. Матрица имеет ранг r, если среди ее миноров существует хотя бы один, отличный от нуля, минор порядка r, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю или не существуют.

Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.

Пример. Для квадратной матрицы порядка n = 3 ее ранг r £ 3. Поскольку но, например, составленный из элементов этой матрицы минор Размерность этого минора равна 2, следовательно, ранг данной матрицы r = 2. Однако этот способ определения ранга матрицы не всегда прост. Удобнее привести данную матрицу А к так называемой ступенчатой форме, что возможно с помощью элементарных преобразований. Матрица ступенчатой формы такова, что все «диагональные» элементы , где отличны от нуля, а все элементы, расположенные под этой диагональю, равны нулю:

Число r элементов стоящих на главной диагонали, не зависит от способа приведения прямоугольной матрицы А к виду ступенчатой матрицы А_r и называется рангом матрицы А.

Следствие. Ранги двух эквивалентных матриц равны.

● Операция над матрицей при которой ее строки становятся столбцами с теми же номерами, а столбцы – строками, называется транспонированием. Обозначается транспонированная матрица

Операция транспонирования обладает следующими свойствами:

1. 2.

3. 4.

● Произведение матрицы А на матрицу В определяется только в случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
В этом случае матрицы А и В называются согласованными.

Замечание. Из того что матрица А согласована с В, а значит существует матрица АВ, не следует что матрицу В можно умножить на А, т. к. из согласованности А с В не следует согласованность В с А. Следовательно,
в общем случае АВ ¹ ВА. Однако АЕ = ЕА.

Действие умножения матриц выполняется по принципу «строка на столбец», что схематично представлено на рис. 24.

Произведением матрицы на матрицу называется такая матрица элементы которой равны сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

Примеры. Найти АВ и ВА, если:

1) 2)

Решение. 1) А согласована с В и В согласована с А, значит, существуют матрицы АВ и ВА:

Итак, существуют матрицы АВ и ВА, однако АВ ¹ ВА.

2) Матрица А с В согласована, значит существует АВ:

Но матрица В не согласована с А, следовательно, произведение матриц ВА не существует.

Свойства умножения матриц

1. (АВС) = А(ВС); 2. А(lВ) = l(АВ) = (lА)В;

3. (А + В)С = АС + ВС; 4. С(А + В) = СА + СВ;

5. АЕ = ЕА = А, где Е – единичная матрица; 6. А0 = 0А = 0.

7. det (АВ) = det А det В, т. е. определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Определение. Обратной матрицей относительно данной квадратной невырожденной матрицы А называется такая квадратная матрица произведение которой на данную есть единичная матрица:

Вырожденная матрица обратной не имеет.

Любая невырожденная матрица имеет единственную обратную.