Гипотезы о параметрах распределения

Изучить:

а) понятие статистической гипотезы. Классификация гипотез (параметрическая, непараметрическая, нулевая, альтернативная, простая, сложная);

б) понятия ошибок первого и второго рода;

в) статистический критерий проверки нулевой гипотезы;

г) уровень значимости статистического критерия и его связь с ошибками первого и второго рода. Критическая область и критические точки;

д) методика проверки статистических гипотез;

е) проверка гипотезы о генеральной средней при известной и неизвестной генеральной дисперсии;

ж) проверка гипотезы о генеральной дисперсии.

Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки. Гипотезы, в основе которых нет никаких допущений о конкретном виде закона распределения, называют непараметрическими, в противном случае – параметрическими.

Статистическая гипотеза называется непараметрической, если в ней сформированы предположения относительно вида функции распределения или закона распределения.

Статистическая гипотеза называется параметрической, если в ней сформулированы предположения относительно значений параметров функции распределения известного вида.

Нулевой гипотезой называют основную выдвинутую гипотезу и обозначают .

Альтернативной ( ) называют гипотезу, конкурирующую с основной в том смысле, что если нулевая гипотеза отвергается, то принимается альтернативная.

Статистическая гипотеза называется простой, если она имеет вид: .

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Статистический критерий проверки нулевой гипотезы:

1) Если выборка принадлежит критическому множеству , то отвергают основную гипотезу.

2) Если выборка не принадлежит критическому множеству , то нет оснований отвергать основную гипотезу.

Критическая точка – точка раздела между критической областью и областью допустимых значений. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

1)Рассматриваются выборочные данные, и руководствуясь конкретными условиями задачи формулируем и .

Задаём уровень значимости критерия.

2)

3) выбираем критерий К по значениям которого мы можем судить о справедливости .

4) рассчитываем выборочную величину

5) определяем критические точки и критические области.

6) принятия статистического решения.

Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой случайной величины – критерия, точное или приближенное распределение которого известно.

Принятие или отклонение гипотезы Н₀ по случайной выборке соответствует истине с некоторой вероятностью и, соответственно, возможны два рода ошибок. Ошибка первого рода возникает тогда, когда отвергается верная гипотеза Н₀ и принимается конкурирующая гипотеза Н₁. Ошибка второго рода возникает в том случае, когда принимается неверная гипотеза Н₀, в то время как справедлива конкурирующая гипотеза Н₁. Доверительная вероятность – это вероятность не совершить ошибку первого рода и принять верную гипотезу Н₀. Вероятность отвергнуть ложную гипотезу Н₀ называется мощностью критерия.

Теорема Неймона - Пирсона: среди всех критериев заданного уровня значимости , проверяющих простую гипотезу против альтернативной гипотезы , критерий отношения правдоподобия является наиболее мощным критерием.

Задание 7

7.1

Предположив, что признак X распределен по нормальному закону с известным стандартным отклонением s_г=2,003, по имеющейся выборке проверить гипотезу о том, что генеральная средняя равна числу a₀ = 61,27. Проверку провести для трех основных видов альтернативных гипотез при уровне значимости a = 0,05.

А)

1) ,

2) a = 0,05

3) U – нормальный закон распределения

4)

5) Вычислим :

5.1: Для односторонней области:

находим по таблице Лапласса:

Вывод: Гипотеза принимается.

5.1: Для двусторонней области:

находим по таблице Лапласса:

Вывод:Гипотеза принимается

7.2

Предположив, что признак X распределен по нормальному закону, по имеющейся выборке проверить гипотезу о том, что генеральная дисперсия равна числу = 4,2. Проверку провести для трех основных видов альтернативных гипотез при уровне значимости a = 0,05.

1)

2)

3) -распределение

4)

5)правосторонняя критическая область

По критерию Пирсона:

Гипотеза принимается, т.к. не лежит в области

Для левосторонней критической области:

Гипотеза принимается.

Для двусторонней критической области:

Гипотеза принимается

7.3

Предположив, что признак Y распределен по нормальному закону с неизвестным стандартным отклонением, проверить гипотезу о том, что генеральная средняя равна числу b₀ = 80,73. Проверку провести при уровне значимости критерия a = 0,05 для альтернативной гипотезы, обеспечивающей максимальную мощность критерия.

1)

2) a = 0,05

3)

4) Будем проверять гипотезу для распределения Стьюдента, так как значение генеральной дисперсии не известно:

Найдём по таблице Стьюдента:

5) Гипотеза отвергается.

7.4

Предположив, что признак Y распределен по нормальному закону, проверить гипотезу о том, что генеральная дисперсия равна числу = 5,1. Проверку провести при уровне значимости критерия a = 0,05 для альтернативной гипотезы, обеспечивающей максимальную мощность критерия.

1)

2) a = 0,05

3)

-распределение

4) Найдем по таблице Пирсона:

5)Двусторонняя ;

6)Гипотеза принимается