Проверка гипотезы о виде распределения

Проверка гипотезы о законе распределения значения признака в генеральной совокупности осуществляется с помощью критериев согласия.

Проверяемая (нулевая) гипотеза утверждает, что значения признака в выборке, взятой из генеральной совокупности, распределены по предполагаемому закону.

Для проверки гипотезы о виде распределения необходимо вычислить теоретически ожидаемые (выравнивающие) частоты, которые должны были бы получиться, если бы распределение действительно соответствовало предполагаемому.

Теоретические частоты вычисляются по формулам:

1) в случае дискретной случайной величины , где – объем выборки; – вероятность случайной величины принять значения равное .

2) в случае непрерывной случайной величины , где – объем выборки, – середина интервала; – функция плотности теоретического распределения, вычисленная в точке ; h – длина интервала.

Проверку гипотезы о виде теоретического распределения можно провести с помощью критерия согласия Пирсона , основанного на статистике:

где – опытные частоты, – выравнивающие частоты.

Гипотеза отвергается, если вычисленное значение окажется больше критического , найденного по таблицам распределения для уровня значимости и числа степеней свободы , где – число интервалов, – число оцениваемых параметров предполагаемого теоретического распределения (приложение 2).

Например, если проверяется согласие экспериментальных данных нормальному закону распределения, для которого r=2, то число степеней свободы .

Следует учитывать, что при использовании критерия согласия Пирсона общее число наблюдений должно быть достаточно большим ( 50), и число наблюдений в интервалах должно быть не менее пяти . Интервалы, у которых <5 нужно объединить, а их частоты сложить.

Проверим для нашего примера гипотезу о нормальном законе распределения изучаемой величины для уровня значимости . Найдем выравнивающие частоты.

Таблица 4.

6,97		11	-2,09	-2,34	0,0258	1,2412		12
7,40		-1,66	-1,86	0,0707	3,4014
7,83		-1,23	-1,38	0,1569	7,5485
8,26		-0,80	-0,89	0,2685	12,9176
8,69		-0,37	-0,41	0,3668	17,6469
9,12		0,06	0,07	0,3980	19,1479
9,55		0,49	0,55	0,3429	16,4970
9,98		0,92	1,03	0,2347	11,2915
10,41		11	1,35	1,51	0,1276	6,1389		9
10,84		1,78	1,99	0,0551	2,6509

Находим с учетом объединения интервалов (объединяем первый, второй и третий интервалы, а также девятый и десятый)

=

=3,15.

Определим . Число степеней свободы =7–3=4, тогда при уровне значимости имеем =9,5.

Имеем < . Следовательно, в рассматриваемом примере нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении изучаемой случайной величины.

Вид функции плотности вероятности данной случайной величины, распределённой по нормальному закону в нашем случае:

.

Интегральная функция распределения такова

.

Построим кривую Гаусса данного распределения. Найдем максимум кривой Гаусса

.

Рисунок 6. –.Полигон частот и кривая Гаусса

Приложение 1

Таблица значений функции

0.0	0.3989
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0	0.2420
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0	0.0540
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0	0.0044
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9

Приложение 2

Критические точки распределения χ²

Число степеней свободы	Уровень значимости α
0.01	0.025	0.05	0.95	0.975	0.89
	6.6	5.0	3.8	0.0039	0.00098	0.00016
	9.2	7.4	6.0	0.103	0.051	0.020
	11.3	9.4	7.8	0.352	0.216	0.115
	13.3	11.1	9.5	0.711	0.484	0.297
	15.1	12.8	11.1	1.15	0.831	0.554
	16.8	14.4	12.6	1.64	1.24	0.872
	18.5	16.0	14.1	2.17	1.69	1.24
	20.1	17.5	15.5	2.73	2.18	1.65
	21.7	19.0	16.9	3.33	2.70	2.09
	23.2	20.5	18.3	3.94	3.25	2.56
	24.7	21.9	19.7	4.57	3.82	3.05
	26.2	23.3	21.0	5.23	4.40	3.57
	27.7	24.7	22.4	5.89	5.01	4.11
	29.1	26.1	23.7	6.57	5.63	4.66
	30.6	27.5	25.0	7.26	6.26	5.23
	32.0	28.8	26.3	7.96	6.91	5.81
	33.4	30.2	27.6	8.67	7.56	6.41
	34.8	31.5	28.9	9.39	8.23	7.01
	36.2	32.9	30.1	10.1	8.91	7.63
	37.6	34.2	31.4	10.9	9.59	8.26
	38.9	35.5	32.7	11.6	10.3	8.90
	40.3	36.8	33.9	12.3	11.0	9.54
	41.6	38.1	35.2	13.1	11.7	10.2
	43.0	39.4	36.4	13.8	12.4	10.9
	44.3	40.6	37.7	14.6	13.1	11.5
	45.6	41.9	38.9	15.4	13.8	12.2
	47.0	43.2	40.1	16.2	14.6	12.9
	48.3	44.5	41.3	16.9	15.3	13.6
	49.6	45.7	42.6	17.7	16.0	14.3
	50.9	47.0	43.8	18.5	16.8	15.0

ЛИтература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. – 12-е изд., перераб. – М.: Высш. образование, 2005. – 479 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высш. образование, 2007. – 404 с.

3. Баранова И.М., Часова Н.А. Основы теории вероятностей и математической статистики: учеб. пособие. Ч. 1 Теория вероятностей. / И.М.Баранова [и др.]. – Брянск, 2011. – 140 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение. 4

1. Основные понятия математической статистики. 6

2. Построение вариационного ряда. 7

3. Графическое изображение вариационных рядов. 8

4. Эмпирическая функция распределения. 10

5. Основные выборочные характеристики. 12

6. Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности 18

7. Статистическая проверка гипотез. 22

8. Предварительный выбор закона распределения. 25

9. Проверка гипотезы о виде распределения. 28

Приложение 1. 32

Приложение 2. 33

ЛИтература.. 34

Баранова И.М., Часова Н.А.

МАТЕМАТИКА

Статистическая обработка
экспериментальных данных

Методические указания к выполнению
расчетно-графической работы для студентов
всех специальностей и всех направлений
подготовки бакалавров очной и заочной форм обучения

Формат Объем Тираж Заказ

Брянск, Станке Димитрова 3, Редакционно-издательский отдел

Отпечатано: Печатный цех БГИТУ