Проверка гипотезы о виде распределения

Проверка гипотезы о законе распределения значения признака X в генеральной совокупности осуществляется с помощью критериев согласия.

Проверяемая (нулевая) гипотеза утверждает, что значения признака в выборка, взятой из генеральной совокупности, распределены по предполагаемому закону.

Для проверки гипотезы о виде распределения необходимо вычислить теоретически ожидаемые (выравнивающие) частоты, которые должны были бы получиться, если бы распределение действительно соответствовало предполагаемому.

Теоретические частоты вычисляются по формулам:

1) в случае дискретной СВ , где - объем выборки; - вероятность случайной величины принять значение, равное .

2) в случае непрерывной случайной величины , где - объем выборки, - середина интервала; - функция плотности теоретического распределения, вычисленная в точке ; h - длина интервала.

В частности для нормального закона распределения теоретические частоты рассчитываются по формуле:

где – среднее квадратическое отклонение, – табулированная функция, .

Проверку гипотезы о виде теоретического распределения можно провести с помощью критерия согласия Пирсона , основанного на статистике:

где – опытные частоты, – выравнивающие частоты.

Гипотеза отвергается, если вычисленное значение окажется больше критического , найденного по таблицам распределения для уровня значимости α и числа степеней свободы = l–r–1 где l –число интервалов, r – число оцениваемых параметров предполагаемого теоретического распределения (приложение 2).

Например, если проверяется согласие экспериментальных данных нормальному закону распределения, для которого r =2, то число степеней свободы = l –2–1 = l –3.

Следует учитывать, что при использовании критерия согласия Пирсона общее число наблюдений должно быть достаточно большим ( 50), и число наблюдений в интервалах должно быть не менее пяти ( 5). Интервалы, у которых <5 можно объединить, а их частоты сложить.

Проверим для нашего примера гипотезу о нормальном законе распределения изучаемой величины для уровня значимости

Найдём выравнивающие частоты.

Таблица 3

3,175	5	-0,748	-1,85	0,0721	3,0252	3
3,345		-0,578	-1,43	0,1456	6,1092
3,515		-0,408	-1,01	0,2396	10,0534
3,685		-0,238	-0,59	0,3352	14,0647
3,855		-0,068	-0,17	0,3932	16,4983
4,025		0,102	0,25	0,3867	16,2256
4,195		0,272	0,67	0,3187	13,3723
4,365		0,442	1,09	0,2203	9,2436
4,535	8	0,612	1,51	0,1276	5,3540	5
4,705		0,782	1,93	0,062	2,6015

Находим :

Определим . Число степеней свободы: , уровень значимости . Следовательно, =11.1, т.е.

< ,

7.291<11.1.

Следовательно, в рассматриваемом примере нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении изучаемой случайной величины.

Вид функции плотности вероятности исследуемой случайной величины, распределённой по нормальному закону, в нашем случае:

.

Функция распределения:

.

Приложение 1

Таблица значений функции

0.0	0.3989
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0	0.2420
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0	0.0540
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0	0.0044
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9

Приложение 2

Критические точки распределения χ²

Число степеней свободы	Уровень значимости α
0.01	0.025	0.05	0.95	0.975	0.89
	6.6	5.0	3.8	0.0039	0.00098	0.00016
	9.2	7.4	6.0	0.103	0.051	0.020
	11.3	9.4	7.8	0.352	0.216	0.115
	13.3	11.1	9.5	0.711	0.484	0.297
	15.1	12.8	11.1	1.15	0.831	0.554
	16.8	14.4	12.6	1.64	1.24	0.872
	18.5	16.0	14.1	2.17	1.69	1.24
	20.1	17.5	15.5	2.73	2.18	1.65
	21.7	19.0	16.9	3.33	2.70	2.09
	23.2	20.5	18.3	3.94	3.25	2.56
	24.7	21.9	19.7	4.57	3.82	3.05
	26.2	23.3	21.0	5.23	4.40	3.57
	27.7	24.7	22.4	5.89	5.01	4.11
	29.1	26.1	23.7	6.57	5.63	4.66
	30.6	27.5	25.0	7.26	6.26	5.23
	32.0	28.8	26.3	7.96	6.91	5.81
	33.4	30.2	27.6	8.67	7.56	6.41
	34.8	31.5	28.9	9.39	8.23	7.01
	36.2	32.9	30.1	10.1	8.91	7.63
	37.6	34.2	31.4	10.9	9.59	8.26
	38.9	35.5	32.7	11.6	10.3	8.90
	40.3	36.8	33.9	12.3	11.0	9.54
	41.6	38.1	35.2	13.1	11.7	10.2
	43.0	39.4	36.4	13.8	12.4	10.9
	44.3	40.6	37.7	14.6	13.1	11.5
	45.6	41.9	38.9	15.4	13.8	12.2
	47.0	43.2	40.1	16.2	14.6	12.9
	48.3	44.5	41.3	16.9	15.3	13.6
	49.6	45.7	42.6	17.7	16.0	14.3
	50.9	47.0	43.8	18.5	16.8	15.0

ЛИтература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для студентов вузов. М.: «Высшая школа», 2002.

2. Гмурман.В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: «Высшая школа», 2002.

3. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. – М..: Высшая школа, 1982. – Ч. 1 и 2.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение........................................................................................... 5

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 7

2. ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА................................... 8

3. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ.. 9

4. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (КУМУЛЯТА) 11

5. ОСНОВНЫЕ ВЫБОРОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ................... 13

6. ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ……………………………………18

7. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ.............................. 22

8. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ВЫБОР ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ……24

9. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ВИДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.............. 25

Приложение 1...................................................................................... 31

Приложение 2...................................................................................... 32

ЛИтература..................................................................................... 33

Ирина Михайловна Баранова

Наталья Александровна Часова

Галина Дмитриевна Алексеева

Анатолий Николаевич Муравьев

Методические указания к выполнению РГР для студентов очного и заочного обучения «Статистическая обработка большой выборки»

Лицензия НД №14185 от 6.03.2001 г.

Формат 60 94 1/16. Тираж 50 экз. Печ. л. – 2,0

Брянская государственная инженерно-технологическая академия.

241037, г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3, редакционно–издательский

отдел. Подразделение оперативной печати.

Подписано к печати _____ мая 2006 г.