Базис. матрицы перехода. процесс ортогонализации
7.1. Найти базис системы векторов:
1. векторов, лежащих на одной прямой;
2. на плоскости;
3. матриц второго порядка 
;
4. многочленов степени 
7.2. Найти какой-нибудь базис системы векторов:
1. 
2. 
7.3. Найти координаты вектора х в базисе:
1. 
2. 
7.4. Найти координаты многочлена 
1. в базисе: 
2. в базисе: 
3. в базисе: 
7.5. Найти базис пространства, заданного системой линейных уравнений:
7.6. Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом и найти матрицу перехода от старого базиса к новому.
1. 
2. 
7.7. Найти координаты вектора 
в базисе 
, если он задан в базисе 
:
1. 
2. 
=(6,-1,3), =(1,2,4).
7.8. Проверить, что векторы следующих систем попарно ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов:
1. 
2. 
7.9. Найти векторы, дополняющие следующие системы векторов до ортонормированных базисов:
1. 
2. 
7.10.Применяя процесс ортогонализации построить ортонормированный базис подпространства 
1. 
2. 
МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.
МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ
8.1. Пусть оператор А поворачивает все векторы на плоскости ХОУ на угол 
против часовой стрелки. Найти матрицу оператора А.
8.2. В пространстве 
многочленов от t степени меньшей или равной 5 положим 
(оператор дифференцирования). Найти матрицу оператора в базисе:
а) 
, 
, 
, 
, 
;
б) , , 
, 
, 
.
8.3. Доказать линейность и найти матрицу оператора (в базисе 
):
а) проектирования на ось ОХ;
б) проектирования на плоскость z=0;
в) проектирования на ось ОУ;
г) проектирования на плоскость у=0;
д) проектирования на плоскость 0yz;
е) поворота относительно оси 0z на угол 
в положительном направлении.
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
8.5. Привести к каноническому виду квадратичную форму. Найти матрицу перехода. Выяснить знакоопределенность формы (положительно определенная, отрицательно определенная, знакопеременная)
1) 
;
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
ЧИСЛО И ВЕКТОР ФРОБЕНИУСА. ПРОДУКТИВНОСТЬ МАТРИЦ.
9.1. Найти число и вектор Фробениуса матрицы А:
а) 
б) 
в) 
г) 
.
9.2. Найти число Фробениуса матриц:
а) 
б) 
в) 
г) 
.
9.3. Продуктивна ли матрица:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
.
9.4. При каких 
матрица:
а) 
б) 
будет продуктивной?
9.5. Найти запас продуктивности матрицы:
а) 
б) 
.
ВЕКТОРЫ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
ВЕКТОРЫ
10.1. Вычислить направляющие косинусы вектора 
и орт вектора ( 
):
а) 
;
б) 
;
в) 
.
10.2. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы:
а) 
, 
, 
;
б) , 
, 
.
10.3. Определить координаты точки М, если ее радиус вектор составляет с координатными осями одинаковые углы, а его модуль равен 
.
10.4. По данным векторам 
и 
построить
а) + , б) - , в) - , г) - - .
10.5. Даны: 
, 
, и 
. Найти 
.
10.6. Даны: 
, 
, и 
. Найти 
.
10.7. Проверить коллинеарность векторов и . Установить во сколько раз один длиннее другого и как они направлены (в одну или противоположные стороны).
а) 
б) 
10.8. Проверить, что четыре точки А, В, С, Д служат вершинами трапеции:
а) А(3,-1,2), В(1,2,-1), С(-1,1,-3), Д(3,-5,3).
б) А(-1,5,-10), В(5,-7,8), С(2,2,-7), Д(5,-4,2).
10.9. Даны векторы (2,-3,6) и (-1,2,-2). Определить координаты вектора 
, направленного на биссектрисе угла между векторами и , при условии, что 
.
10.10. Векторы 
(2,6,-4) и 
(4,2,-2) совпадают со сторонами треугольника АВС. Определить координаты векторов 
, 
и 
, совпадающих с медианами треугольника.
10.11. Доказать, что если и неколлинеарные векторы, то любой вектор 
, лежащий в их плоскости, может быть представлен в виде: 
и это представление однозначно.
10.12. Даны четыре вектора: 
, 
, 
, 
. Найти координаты каждого вектора в базисе из остальных векторов.