Вычисление интегралов вида

где и

Здесь остановимся на следующих 3-х случаях:

1) и - четные неотрицательные числа.

В этом случаи неопределенные интегралы находятся с помощью тригонометрических формул:

Пример 6.6.41.

2) или - нечетное положительное число.

Если хотя бы одно из чисел и - нечетное, то от нечетной степени отделяется множитель и вводится новая переменная.

В частности, если , то

Другими словами, если показатель степени одной из тригонометрических функций – нечетное положительное число, то другую функцию принимают за t.

Пример6.6.42.

3) ) + - четное отрицательное число.

Если сумма показателей синуса и косинуса есть четное отрицательное число, подстановка сводит интеграл к табличным (либо подстановка ).

Пример6.6.43.

Пример 6.6.44.

Остановимся на некоторых из них:

Пример6.6.45.

Однако целесообразнее ввести в числителе тригонометрическую единицу во второй степени.

Пример 6.6.46.

Пример 6.6.47.

Пример 6.6.48.Вычисления с помощью универсальной подстановки ; но она приводит к большим выкладкам.

Примечание. Формулы понижения степени:

Тригонометрические подстановки

1) При вычислении интегралов вида

Где - рациональная функция относительно “х” и “ ” (то есть, когда подынтегральная функция содержит только радикалы вида ) часто бывает полезна подстановка (или x = acost)

Любая из них приводит подынтегральную функцию к рациональному виду относительно sint и cost.

Пример6.6.49. и т.д.

Пример6.6.50.

2) Интегралы вида рационализируется подстановкой.

Пример.

2) Интеграл вида рационализируются подстановкой

Пример 6.6.51.

3) Интеграл вида

4) Применяется подстановка

Пусть требуется вычислить где - некоторая алгебраическая явная иррациональная функция.

Здесь стараются подобрать такую подстановку (ее обычно называют рационализирующей) , чтобы функция оказывалась рациональной.

1. Интегралы вида , где -рациональные числа
2. R - рациональная функция от аргументов

Для рационализации подынтегральной функции применяется подстановка или , где - общий знаменатель дробей

( - общее наименьшее кратное показателей всех радикалов, под которыми х входят в подынтегральную функцию).

Подстановка рационализирует рассматриваемый интеграл, то есть сводит его к интегралу рациональной дроби: = после введения ‘t’, каждая дробная степень х выразиться через целую степень ‘t’, и, следующая подынтегральная функция будет рациональной относительно переменной ‘t’

Пример6.6.52.

Где

2. где (т.е. рациональные числа);

.

Интегралы этого вида рационализируются подстановкой , или ,

Где - общий знаменатель дробей

Вопрос сводится к интегрированной рациональной функции .

Пример 6.6.53.

.

Пример 6.6.54.

- многочлен степени n.

Имеет место следующая формула:

Где - многочлен степени ”n-1” c неопределенными коэффициентами;

- постоянное число.

(доказательство,см.Фихтенг.,т.2,стр.67).

Многочлен и находятся так:

1) Записывают равенство (I) с неопределенными коэффициентами для многочлена Q(x), беря степень многочлена Q(x) на единицу меньше степени многочлена P_n(x).

2) Дифференцируют обе части равенства(I), в результате чего исчезают интегралы.

3) Умножают полученное равенство на ,в результате чего исчезают иррациональности.

4) По методу неопределенных коэффициентов определяют коэффициенты многочлена Q(x) и число .

5) Найденные значения подставляют в формулу и вычисляют интеграл

Пример6.6.55.Вычислить .

дифференцируем обе части:

Умножаем почтенно на :

;

откуда имеем:

4. ;где

Применяется подстановка .

С помощью этой подстановки интеграл сводится к рассмотренным ранее (в зависимости от “n”).

Пример6.6.56.

.