Вычисление тройных интегралов

Лекция 16. Тройные интегралы. Вычисление тройных интегралов. Декартовы прямоугольные координаты. Цилиндрические координаты. Сферические координаты.

Рассматривая задачу отыскания массы неоднородного тела, получим определение тройного интеграла.

Рассмотрим тело, занимающее пространственную область Т, и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела

Разобьем тело произвольным образом на n частей. Объемы этих частей обозначим . Выберем затем в каждой части по произвольной точке . Полагая, что в каждой частичной области плотность постоянна и равна ее значению в точке , получим приближенное выражение для массы всего тела в виде суммы (*)

Предел этой суммы при условии, что и каждое частичное тело стягивается в точку, то есть ее диаметр стремится к 0 и даст массу М тела

Сумма (*) называется интегральной суммой, а ее предел – тройным интегралом от функции по пространственной области Т.

К вычислению тройного интеграла приводят и другие задачи, поэтому в дальнейшем будем рассматривать тройной интеграл , где f(x,y,z) – любая функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области Т, имеющей объем V. Обычно эта область ограничена одной или несколькими замкнутыми поверхностями.

Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией для двойных интегралов. Свойства двойных интегралов полностью переносятся на тройные интегралы. Отметим, что если подынтегральная функция f(x,y,z)=1, то тройной интеграл выражает объем V области Т.

Поэтому свойства 5 и 6 формулируются так:

5’. Значение тройного интеграла заключено между произведениями наименьшего (m) и наибольшего (М) значений подынтегральной функции в области Т на объем области интегрирования.

, где V объем области Т.

6’. Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, то есть

Вычисление тройных интегралов

Вычисление тройного интеграла, также как и двойного может быть выполнено посредством ряда последовательных интегрирований.

1. Декартовы прямоугольные координаты

Пусть дан тройной интеграл от функции f(x,y,z) . Область Т отнесена к системе декартовых координат OXYZ.

Разобьем область интегрирования Т плоскостями параллельными координатным плоскостям. Тогда частичные области будут параллелепипеды с гранями параллельными OXY,OXZ,OYZ. Элемент объема будет равен произведению дифференциалов переменных интегрирования dV=dxdydz, тогда .

Правило вычисления такого интеграла следующее.

Считаем, что область интегрирования имеет вид

Опишем около Т цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной к плоскости ОХУ. Она касается области Т вдоль некоторой линии L, которая делит поверхность, ограничивающую область на две части, верхнюю и нижнюю. Уравнение нижней части , уравнение верхней части - . Построенная цилиндрическая поверхность высекает из плоскости ОХУ область D, которая является ортогональной проекцией пространственной области Т на плоскость ОХУ, при этом L проецируется в границу области.

Сначала интегрируем по направлению оси Z. Для этого функция f(x,y,z) интегрируется по заключенному в Т отрезку прямой параллельной оси OZ и проходящей через некоторую точку P(x,y) области D. При данных x и y переменная z будет изменяться от - аппликаты точки входа до аппликаты точки выхода прямой из области Т.

Результат интегрирования представляет собой величину, зависящую от точки P(x,y) , обозначим через F(x,y). Тогда . При интегрировании x,y рассматриваются как постоянные величины.

Получим значение искомого тройного интеграла, если возьмем интеграл от функции F(x,y) при условии, что точка P(x,y) изменяется по области D, то есть если вычислим двойной интеграл . Таким образом, тройной интеграл может быть представлен в виде . Приводя далее двойной интеграл по области D к повторному и интегрируя сначала по у, а затем по х, получим (*), где - ординаты точек входа в область D и выхода из нее прямой x=const ( в плоскости OXY); a,b – абсциссы конечных точек интервала оси ОХ, на который проецируется область D.

Таким образом, вычисление тройного интеграла по области T производится посредством трех последовательных интегрирований.

Формула (*) сохраняется и для областей, имеющих цилиндрическую форму, то есть ограниченных цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси OZ, а снизу и сверху поверхностями, уравнения которых соответственно и

Если областью интегрирования служит внутренняя часть параллелепипеда с гранями параллельными координатным плоскостям, то пределы интегрирования постоянные во всех трех интегралах.

В этом случае интегрирование можно проводить в любом порядке, пределы интегрирования при этом будут сохраняться.

Замечание

Если в общем случае менять порядок интегрирования (например интегрировать сначала по направлению оси OY, а затем по области плоскости OXZ), то это приводит к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.

b

d

c

Пример. Вычислить , где Т – область, ограниченная координатными плоскостями x=0, y=0, z=0 и плоскостью x+y+z=1

Решение Интегрирование по z совершается от z=0 до z=1-x-y. Обозначая за D - проекцию области Т на плоскость ОХУ, получим

Расставим пределы интегрирования по области – треугольнику, стороны которого: x=0, y=0, x+y=1

1. Цилиндрические координаты

Отнесем область Т к системе цилиндрических координат , в которой положение точки М в пространстве определяется полярными координатами ее проекции Р на плоскости ОХУ и ее аппликатой z.

Выберем взаимное расположение осей координат как указано на следующем рисунке

P

R

x

y

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами точки следующая: (*)

Разбиваем область Т на частичные области тремя системами координатных поверхностей: которыми будут соответственно круговые цилиндрические поверхности, осью которых является ось OZ, полуплоскости, проходящие через ось OZ, и плоскости параллельные ОХУ. Частичные области - прямые цилиндры MN. Так как объем цилиндра MN равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражение .

Преобразование тройного интеграла к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобразованию двойного интеграла к полярным координатам. Для этого нужно в выражении подынтегральной функции f(x,y,z) переменные x,y,z заменить по формулам (*). Элемент объема положить равным и вычислить интеграл по области , построенной во вспомогательной декартовой системе координат . Получаем

В обычно встречающихся случаях область можно не строить и расставлять пределы интегрирования прямо по виду области Т.

Внутренне интегрирование производится по переменной z; при этом уравнения поверхностей, ограничивающих область Т, должны быть записаны в цилиндрических координатах.

Если рассмотреть в качестве области интегрирования внутреннюю часть прямого цилиндра , то все пределы интегрирования постоянны

Интеграл не меняется при перемене порядка интегрирования.

Пример

Вычислить интеграл , где область Т ограничена снизу параболоидом а сверху сферой . Уравнения этих поверхностей в цилиндрических координатах соответственно - параболоид; - сфера. Линия их пересечения – окружность, лежащая в плоскости z=2; ее радиус равен . Эти значения получаются при решении системы уравнений

Решение

1. Сферические координаты

Отнесем область интегрирования Т к сферическим координатам .

В этой системе координат положение точки М пространства определяется ее расстоянием r от начала координат (длина радиус-вектора точки), углом между радиус-вектором точки и осью OZ и углом между проекцией радиус-вектора точки на плоскость ОХУ и осью ОХ.

x

Установим связь между декартовыми и сферическими координатами. Из рисунка имеем

Окончательно

(*)

Разобьем область Т на частичные области тремя системами координатных поверхностей: , которыми будут соответственно сферы с центром в начале координат, полуплоскости, проходящие через ось OZ, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпадающими с одной из полуосей OZ (см. рисунок). Частичными областями служат «шестигранники». Отбросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник MN как прямоугольный параллелепипед с измерениями равными: dz – по направлению полярного радиуса; - по направлению радиана; - по направлению параллели. Для элемента объема получаем выражение (**).

Заменив в тройном интеграле x,y,z по формулам (*) и взяв элемент объема равным (**), перейдя к области получаем

Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирования Т – шар с центром в начале координат или шаровое кольцо. Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара R1, а внешнего R2. пределы интегрирования следует расставить так

, если Т – шар, то полагаем R1=0.

Пример. Вычислить интеграл , где Т – часть шара , расположенная в первом октанте.

Решение

Замечание

Не существует общего указания, когда следует применять ту или иную систему координат. Это зависит от области интегрирования и от вида подынтегральной функции. Иногда следует написать интеграл в разных системах координат и только потом решить, в какой из них вычисление будет наиболее простым.