Функция распределения вероятностей

Случайной величины

Определение. Функцией распределения называют функцию определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее т. е.

Замечание. Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».

Основные свойства функции распределения:

1. Функция распределения принадлежит отрезку

2. Функция распределения является неубывающей функцией:

если

Следствие. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале равна приращению функции распределения на этом интервале:

3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу то:

при при

Следствие. Справедливы следующие предельные соотношения:

Пример 3.46. Закон распределения дискретной случайной величины представлен в виде таблицы 3.10.

Таблица 3.10

Закон распределения дискретной случайной величины

	0,5	0,2	0,3

Найти функцию распределения

Если то так как значений меньше числа 2 случайная величина принимать не может.

Если же то Это обусловлено тем, что значение 2 случайная величина принимает с вероятностью 0,5.

При функция распределения Действительно, случайная величина принимает значение 2 с вероятностью 0,5 и значение 4 с вероятностью 0,2. Следовательно, одно из этих значений случайная величина может принять (теорема о вероятности суммы несовместных событий) с вероятностью:

0,2 + 0,5 = 0,7.

В случае, когда функция распределения поскольку событие, связанное с тем, что случайная величина принимает значения является достоверным и его вероятность равна единице.

Итак, искомая функция распределения имеет вид:

Непрерывная случайная величина.

Плотность распределения.

Вероятность попадания случайной величины

В заданный интервал

Определение. Непрерывной случайной величиной Х, заданной на некотором интервале или ,называется такая случайная величина, которая может принимать в результате серии испытаний любое значение из интервала или .

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется предел отношения вероятности попадания значения непрерывной случайной величины в интервал к при если такой предел существует:

Свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

В частности, если все возможные значения непрерывной случайной величины находятся в интервале , то

Определение. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины равна несобственному интегралу от плотности распределения с переменным верхним пределом:

(3.29)

Исходя из выше изложенного, плотность вероятности можно определить как первую производную от функции распределения:

(3.30)

Теорема. Пусть − плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Тогдавероятность попадания значения случайной величины в интервал равна определенному интегралу от функции в пределах от до

(3.31)

Пример 3.47. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения

Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

Заметим, что при производная не существует.

Пример 3.48. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины

Найти функцию распределения

Используем формулу

Если то следовательно,

Если то

Если то

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Пример 3.49. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение из интервала .

Воспользуемся формулой (3.30):