Функция распределения вероятностей и плотность вероятности

Непрерывные случайные величины характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга.

Вероятность события X < х (где X – значение непрерывной случайной величины, а х – произвольно задаваемое значение), рассматриваемая как функция от х, называется функцией распределения вероятностей:

F(x) = Р(Х <х).

Производная от функции распределения вероятностей называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности:

f(x) = F'(x).

Функция распределения вероятностей выражается через плотность вероятности в виде интеграла:

.

Вероятность попадания случайной величины в интервал (х₁, х₂) равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале:

P(x₁<X<x₂) = F(x₂) – F(x₁). (4)

3.1. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:

Найти плотность вероятности f(x) и вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).

Решение. Плотность вероятности находим по формуле f(x) = F'(x):

Вероятности попадания случайной величины X в интервалы вычисляем по формуле (3.1):

Р(1 < X < 2,5) = F(2,5) – F(1) = 0,5² – 0 = 0,25;

Р(2,5 < X < 3,5) = F(3,5) – F(2,5) = 1 – 0,25= 0,75.

3.2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(х) и построить ее график.

Решение.

если ,

,

если

если х > 2.

График функции представлен на рис. 3.1.

Рис. 3.1

3.3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана в виде

Найти параметр С.

Решение. На основании равенства

имеем:

.

Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана

Средним значением или математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется значение интеграла

М(Х) = М_х = ,

где f(x) – плотность вероятности.

Дисперсией непрерывной случайной величины X называется значение интеграла

D(X) = D_x= .

Для определения дисперсии может быть также использована формула

D_x= .

Модой М₀(Х) непрерывной случайной величины X называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.

Медианой Мe(Х) непрерывной случайной величины X называется такое ее значение, при котором выполняется равенство

Р(Х < Me) = Р(Х > Me).

3.4. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = х/2 в интервале (0; 2), вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.

Решение. На основании формулы

имеем:

3.5. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = x/8 в интервале (0; 4). Вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание.

3.6. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = при . Найти математическое ожидание.

3.7. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = С(х² + 2х) в интервале (0; 1). Вне этого интервала f(x) = 0. Найти параметр С.

Решение. Так как

то:

Откуда С = .

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке [а, b], если ее плотность вероятности имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины определяются выражениями

3.8. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1; 6]. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины.

Решение. Плотность вероятности для величины X имеет вид:

Следовательно, функция распределения, вычисляемая по формуле:

,

запишется следующим образом:

Математическое ожидание будет равно М_х = (1 + 6)/2 = 3,5. Находим дисперсию и среднее квадратичное отклонение:

D_x = (6 – 1)²/12 = 25/12, .

Нормальное распределение

Случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее функция плотности распределения вероятностей имеет вид:

где М_х – математическое ожидание;

– среднее квадратичное отклонение.

Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) находится по формуле

Р(а < X < b) = Ф – Ф = Ф(z₂) – Ф(z₁), (5)

где Ф(z) = – функция Лапласа.

Значения функции Лапласа для различных значений z приведены в Приложении 2.

3.9. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно М_х = 5, дисперсия равна D_x = 9. Написать выражение для плотности вероятности.

3.10. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 12 и 2. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (14; 16).

Решение. Используем формулу (21.2), учитывая, что М_х = 12, = 2:

Р(14 < X < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).

По таблице значений функции Лапласа находим Ф(1) = 0,3413, Ф(2) = 0,4772. После подстановки получаем значение искомой вероятности:

Р(14 <Х < 16) = 0,1359.

3.11. Имеется случайная величина X, распределенная по нормальному закону, математическое ожидание которой равно 20, среднее квадратичное отклонение равно 3. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью р = 0,9972 попадет случайная величина.

Решение. Так как Р(х₁ < Х < х₂) = р = 2Ф((х₂ – М_х)/ ), то Ф(z) = р/2 = 0,4986. По таблице функции Лапласа находим значение z, соответствующее полученному значению функции Ф(z) = 0,4986: z = 2,98. Учитывая то, что z = (х₂ – М_х)/ , определяем = х₂ – М_х = z = 3 · 2,98 = 8,94. Искомый интервал будет иметь вид (11,06; 28,94).

Показательное распределение

Распределение непрерывной случайной величины X называется показательным (экспоненциальным), если плотность вероятности этой величины описывается функцией:

где – положительное число.

Соответственно, функция распределения вероятностей имеет вид:

3.12. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей

Найти математическое ожидание и дисперсию величины X.

Решение. Для решения задачи используем формулы математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины:

,

Учтем, что f(x) = F'(x). Тогда получим:

Подставим в выражение для математического ожидания

.

Интегрируя по частям, получаем М_х = 1/ , или М_х = 1/0,1.

Для определения дисперсии проинтегрируем по частям первое слагаемое. В результате получим:

.

Учтем найденное выражение для М_х. Откуда

.

В данном случае М_х = 10, D_x = 100.

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН