Функция распределения вероятностей

Т. к. способ задания случайных величин с помощью ряда распределения имеет место только для ДСВ, то естественно возникает вопрос: можно ли ввести общий способ задания для всех типов случайных величин?

Пусть Функция распределения вероятностей - student2.ru - случайная величина, а Функция распределения вероятностей - student2.ru - некоторое действительное число. Вероятность Функция распределения вероятностей - student2.ru события, состоящего в том, что Функция распределения вероятностей - student2.ru примет значение, меньшее Функция распределения вероятностей - student2.ru обозначается Функция распределения вероятностей - student2.ru .

Если Функция распределения вероятностей - student2.ru изменяется, то изменяется и Функция распределения вероятностей - student2.ru , т.е. Функция распределения вероятностей - student2.ru есть функция зависящая от Функция распределения вероятностей - student2.ru .

О. 1. Функцией распределения вероятностей (интегральной функцией) называется функция Функция распределения вероятностей - student2.ru , определяющая вероятность того, что случайная величина Функция распределения вероятностей - student2.ru в результате испытания примет значение, меньшее Функция распределения вероятностей - student2.ru , т.е.

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

Геометрически это означает, что Функция распределения вероятностей - student2.ruесть вероятность того, что случайная величина Функция распределения вероятностей - student2.ru примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, расположенной слева от точки Функция распределения вероятностей - student2.ru .

Свойства функции Функция распределения вероятностей - student2.ru :

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку Функция распределения вероятностей - student2.ru , т.е.

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

2. Функция Функция распределения вероятностей - student2.ru неубывающая, т.е.

Функция распределения вероятностей - student2.ru , если Функция распределения вероятностей - student2.ru .

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу Функция распределения вероятностей - student2.ru , то:

1) Функция распределения вероятностей - student2.ru при Функция распределения вероятностей - student2.ru ;

2) Функция распределения вероятностей - student2.ru при Функция распределения вероятностей - student2.ru .

4. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале Функция распределения вероятностей - student2.ru , равна приращению функции распределения на этом интервале:

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина Функция распределения вероятностей - student2.ru примет одно определенное значение Функция распределения вероятностей - student2.ru , равна нулю, т.е.

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

График функции распределения вероятностей ДСВ представляет собой ступенчатую фигуру, а НСВ – непрерывную линию. Причем, если речь идет о ДСВ Функция распределения вероятностей - student2.ru и ее возможные значения расположить в порядке возрастания Функция распределения вероятностей - student2.ru , то Функция распределения вероятностей - student2.ru может быть представлена в виде:

Функция распределения вероятностей - student2.ru

Плотность распределения вероятностей

О.1.Плотностью распределения вероятностей (дифференциальной функцией) непрерывной случайной величины Функция распределения вероятностей - student2.ru называется функция Функция распределения вероятностей - student2.ru , равная первой производной от функции распределения Функция распределения вероятностей - student2.ru , т.е.

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

Свойства функции Функция распределения вероятностей - student2.ru :

1.Плотность распределения неотрицательная функция, т.е.
Функция распределения вероятностей - student2.ru .

2.Несобственный интеграл от плотности распределения на интервале Функция распределения вероятностей - student2.ru равен единице, т.е.

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

3.Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу Функция распределения вероятностей - student2.ru , то

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал Функция распределения вероятностей - student2.ru может быть вычислен по формуле (Ньютона-Лейбница):

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

5. Если известна плотность распределения Функция распределения вероятностей - student2.ru ,то функция распределения Функция распределения вероятностей - student2.ru может быть найдена по формуле:

Функция распределения вероятностей - student2.ru

Числовые характеристики НСВ

Пусть непрерывная случайная величина Функция распределения вероятностей - student2.ru задана плотностью распределения Функция распределения вероятностей - student2.ru . Тогда аналогично ДСВ для НСВ могут быть определены числовые характеристики.

О.1. Математическим ожиданием Функция распределения вероятностей - student2.ru НСВ Функция распределения вероятностей - student2.ru , возможные значения которой принадлежат всей оси Функция распределения вероятностей - student2.ru , называют определенный интеграл:

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

O.2.Дисперсией Функция распределения вероятностей - student2.ru НСВ Функция распределения вероятностей - student2.ru , возможные значения которой принадлежат всей оси Функция распределения вероятностей - student2.ru , называется значение интеграла

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

Замечание 1. Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ.

Замечание 2.На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой: Функция распределения вероятностей - student2.ru .

O.3.Средним квадратическим отклонением Функция распределения вероятностей - student2.ru НСВ Функция распределения вероятностей - student2.ru называется корень квадратный из дисперсии, т.е.

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

О.4.Модой Функция распределения вероятностей - student2.ru НСВ Функция распределения вероятностей - student2.ru называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.

O.5.Медианой Функция распределения вероятностей - student2.ru НСВ Функция распределения вероятностей - student2.ru называется такое значение этой величины, что выполняется равенство:

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

27.Математическим ожиданием Функция распределения вероятностей - student2.ru НСВ Функция распределения вероятностей - student2.ru , возможные значения которой принадлежат всей оси Функция распределения вероятностей - student2.ru , называют определенный интеграл:

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

Модой Функция распределения вероятностей - student2.ru НСВ Функция распределения вероятностей - student2.ru называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.

O.5.Медианой Функция распределения вероятностей - student2.ru НСВ Функция распределения вероятностей - student2.ru называется такое значение этой величины, что выполняется равенство:

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

28. Дисперсией Функция распределения вероятностей - student2.ru НСВ Функция распределения вероятностей - student2.ru , возможные значения которой принадлежат всей оси Функция распределения вероятностей - student2.ru , называется значение интеграла

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

Замечание 1. Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ.

Замечание 2.На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой: Функция распределения вероятностей - student2.ru .

O.3.Средним квадратическим отклонением Функция распределения вероятностей - student2.ru НСВ Функция распределения вероятностей - student2.ru называется корень квадратный из дисперсии, т.е.

Функция распределения вероятностей - student2.ru .

Биномиальное распределение

Пусть выполнены все условия схемы независимых испытаний Бернулли.

Рассмотрим в качестве ДСВ Функция распределения вероятностей - student2.ru число появлений события Функция распределения вероятностей - student2.ru в этих испытаниях. Т. е. величина Функция распределения вероятностей - student2.ru может принимать значения: Функция распределения вероятностей - student2.ru .

Вероятности этих значений определяются по формуле Бернулли:

Функция распределения вероятностей - student2.ru , Функция распределения вероятностей - student2.ru .

О. 2.Закон распределения вероятностей ДСВ Функция распределения вероятностей - student2.ru называется биномиальным, если вероятности ее возможных значений определяются по формуле Бернулли.

31.Пуассоновское распределение

Пусть в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний достаточно велико ( Функция распределения вероятностей - student2.ru , а вероятность появления события Функция распределения вероятностей - student2.ru очень мала Функция распределения вероятностей - student2.ru .

Рассмотрим в качестве ДСВ Функция распределения вероятностей - student2.ru число появлений события Функция распределения вероятностей - student2.ru в этих испытаниях. Т. е. величина Функция распределения вероятностей - student2.ru может принимать значения: Функция распределения вероятностей - student2.ru .

Вероятности этих значений определяются по формуле Пуассона:

Функция распределения вероятностей - student2.ru , Функция распределения вероятностей - student2.ru .

О. 3.Закон распределения вероятностей ДСВ Функция распределения вероятностей - student2.ru называется пуассоновским, если вероятности ее возможных значений определяются по формуле Пуассона.

Наши рекомендации