Эталоны решения типовых задач
Задача №1. Построить график функции у=х3-3х.
При построении графиков функций удобно действовать по следующей схеме:
1. найти область определения функции;
2. установить, обладает ли функция симметрий (исследовать функцию на четность);
3. исследовать функцию на непрерывность, периодичность;
4. рассмотреть поведение функции в окрестностях точек разрыва;
5. определить поведение функции в бесконечности;
6. найти точки пересечения графика функции с осями координат, если это возможно ( хотя бы приближенно);
7. найти интервалы возрастания, убывания и точки экстремума функции;
8. определить точки перегиба;
9. определить интервалы выпуклости и вогнутности;
10. составить сводную таблицу и построить график.
В ходе построения графика по мере необходимости можно получить допольнительно ряд значений функции при некоторых частных значениях аргумента х, т.е. еще ряд точек графика. Разумеется, в процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы, иногда даже удобно изменить порядок действий.
Решение.
1. Функция определена при всех
2. На концах интервала lim (x3-3x)=-¥; lim (x3-3x)=+¥,
x® -¥ x®+¥
3. Определим интервалы возрастания и убывания функции. Функция возрастает на интервале, если f ¢(x)>0. В данном случае f ¢(x)=3х2-3>0, если х2>1 или |х|>1. Следовательно, функция у=х2-3х возрастает на интервалах и Функция убывает на интервале, если f ¢(x)<0: 3х2-3<0, откуда х2<1, или -1<х<1. Следовательно, функция у=х3-3х убывает на интервале ]-1, 1[.
4. Определим критические точки и исследуем их характер. Из условия (x)=3x2-3=0 найдем критические точки: х1=-1, х2=1. Определим знак первой призводной в окрестностях точек х1=-1, х2=1. Для точки х1=-1 имеем , f ¢(x)=3·02-3<0. Так как знак производной при переходе через критическую точку х=-1 изменился с плюса на минус, то х=-1 это точка максимума. Максимум функции f(-1)=(-1)3-3(-1)=2 (точка А на рис. 4). Для точки х2=1 имеем , . Так как знак производной при переходе через критическую точку изменился с минуса на плюс, то х=1 это точка минимума. Минимум функции (точка В на рис. 4).
5. Определим точку перегиба: . Ордината точки перегиба f(0)=03-3·0=0 (точка О на рис. 4).
6.Определим интервалы выпуклости и вогнутности. Кривая выпукла при условии , откуда х<0. Следовательно, кривая выпукла на интервале . Кривая вогнута при условии , откуда х>0. Следовательно, кривая вогнута на интервале .
7. Найдем точки пересечения кривой с осью Ох.Из системы уравнений находим точки пересечения:
0); О(0; 0), 0).
8. Сведем результаты исследования в таблицу:
х | -1 | ||||
f(x) | -2 | ||||
-3 | |||||
-6 | |||||
Характер точки | Максимум | Перегиб | Минимум |
9. Строим график функции у=х3-3х
Рис 4. График функции у=х3-3х.
Задача 2. Установить, при каком процентом содержании у кислорода в газовой смеси скорость окисления азота будет максимальной, если уравнение кинетики имеет вид =k(100x2-x3),где k-постоянная, х-концентрация окиси азота и х+у=100.
Решение. Найдем производную функции и приравняем ее нулю: =k(200х-3х2)=0, откуда критические точки х1=0, х2=200/3. Исследуем точку х1=0: В точке х1=0 функция имеет минимум. Исследуем точку х2=200/3: Следовательно, х2=200/3 – точка максимума функции , и поэтому у2=100-200/3=33,3. Скорость окисления будет максимальной в том случае, когда в смеси будет содержаться 33,3% кислорода.
Задача 2 . Реакция организма на введенный лекарственный препарат может выражаться в понижении температуры, повышении давления и т.д. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. Пусть х обозначает дозу назначенного лекарственного препарата, а степень реакции описывается функцией у=f(x)=x2(a-x), где а-положительная постоянная. При каком значении х реакция максимальна?
Решение. Найдем производную функции и приравняем ее к нулю: откуда критические точки х1=0, х2=2а/3.
Значение х1=0 указывает на то, что в организм лекарство не вводилось. Исследуем точку х2=2а/3: Следовательно, в точке х2=2а/3 функция имеет максимум. Таким образом, х=2а/3 – это доза, которая вызывает максимальную реакцию.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ