Числовые ряды. Основные определения. Сходимость ряда. Признаки сходимости числовых рядов

КАФЕДРА «СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОБРАЗОВАНИЯ»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3 ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 1-26.02.02 «МЕНЕЖДМЕНТ»

Минск 2004

УДК 512.64 (075.8)

В настоящем издании помещены программы, и контрольные задания (25 вариантов) по высшей математике.

Студент должен выполнить контрольное задание по номеру варианта, который совпадает с двумя последними цифрами зачетной книжки (шифра). Если номер шрифта больше двадцати пяти, то следует из него вычесть число двадцать пять. Полученный результат будет номером варианта.

Составители:

З.М.Алейникова, М.Н.Покатилова, А.Ф.Шидловская

Рецензент Н.А.Микулик

П Р О Г Р А М М А

Тема 1. Ряды

Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Действия над рядами.

Необходимое условие сходимости.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Применение рядов к приближенным вычислениям.

Тема 2. Теория вероятностей и математическая статистика

Предмет теории вероятностей. Классификация событий. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события. Относительные частоты. Закон устойчивости относительных частот.

Классическое и геометрическое определение вероятности. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей. Методы исчисления вероятностей.

Свойства вероятностей. Теоремы сложения. Независимость событий.

Определение условной вероятности. Вероятность произведения событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона.

Дискретные случайные величины (СВ). Ряд распределения. Функция распределения, ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия дискретной СВ.

Непрерывные СВ. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной СВ.

Примеры законов распределения дискретных СВ: биномиальный, Пуассона. Их свойства.

Примеры законов распределения непрерывных СВ: равномерный, показательный, нормальный. Их свойства.

Понятие о различных формах закона больших чисел. Теорема Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.

Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма и полигон.

Эмпирическая функция распределения. Выборочная средняя и дисперсия.

Оценки параметров распределения. Точечные оценки. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для математического ожидания нормально распределенной СВ при известном и неизвестном среднем квадратическом отклонении. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормально распределенной СВ.

Понятие о статистических гипотезах и критериях согласия. Критерии согласия χ² – Пирсона и Колмогорова.

Литература:

1. Гусак А.А. Высшая математика. Т.2. Учебник для студентов

вузов. – 3-е изд. стереотип. – Мн.: ТетраСистемс, 2001 г.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории

вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1980 г.

3. Метельский А.В., Морозов И.М., Наумович Р.Ф., Покатилова

М.Н. Учебно-методическое пособие по высшей математике по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика». – М.: БГПА, 1999 г.

4. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. /

Под общей редакцией Лябушко А.П. – Мн., Высшая школа, части 3, 4, 1990 г.

5. Щипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа,

1985г.

Ряды

Числовые ряды. Основные определения. Сходимость ряда. Признаки сходимости числовых рядов

Выражение вида

U₁ + U₂ + … U_n + … = (1.1)

где U_n R, называется числовым рядом. Числа U₁, U₂, …, U_n … называются членами ряда, а U_n – общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член: U_n=f(n), n N, т.е. задана функция натурального аргумента.

Суммы

S₁ = U₁; S₂ = U₁ + U₂, …; S_n = (1.2)

называются частичными суммами ряда (1.1).

Если существует конечный предел S_n = S, то ряд (1.1) называется сходящимся, а число S – его суммой. Если же S_n не существует или S_n = ∞, то ряд (1.1) называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд (1.1) сходится, то U_n = 0.

Следствие. Если U_n ≠ 0, то ряд (1.1) расходится.

Ряд называется гармоническим рядом.

Для него U_n = 0, но ряд расходится.