Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии

Пусть а(n)=а12… - числовая последовательность. Выражение вида а12+…+аn = ∑n=1an – называется числовым рядом, числа а1, а2 … - члены ряда. аn – общий член ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда ∑k=1ak : a1 + a2 +…+ ak – называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается Sn

Если последовательность (Sn )имеет конечный предел S, то это число называется суммой ряда, а ряд – сходящийся. Если предел бесконечен или не существует, то ряд – расходящийся.

Пример 3. Рассмотрим вопрос о сходимости ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии.

b1+ b1q+ b1q2= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru b1≠0

1) если модуль q=1

b1+b1+b1+…+b1 ; Sn=b1+…+b1=n*b1

n

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru - Ряд расходиться

2) если модуль q= -1

ряд расходиться

3) если модуль q≠0

Sn= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Ответ: ряд сходиться при Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru (Sn= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ) и расходиться при Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ≥1.

Для числового ряда сумма ∑k=1ak выражение ak1+ak2+…=∑k=n+1a называется n-м остатком ряда. Для сходящегося числового ряда ∑k=1ak=∑k=1nak +∑k=n+1ak = Sn+rn.

Можно сказать, что последнее условие является не только необходимым , но и достаточным признаком сходимости ряда.

Теорема (необходимый признак сходимости ряда):

если ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru -сходиться, то Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru . Пусть Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru тогда Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Теорема (достаточный признак расходимости):

если предел Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , то ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru расходиться.

Простейшие свойства сходящихся числовых рядов:

1) Перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.

2) Если ряды Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru и Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru сходятся, то ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru сходиться и его сумма Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru .

д-во:

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

3) Если ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru сходиться к числу S, то ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru сходиться к числу Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , где Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru . Док-во аналогично св-ву 2.

Операции суммирования рядов и умножения рядов на число называются линейными.

Знакопеременные ряды. Абсолютные и условные сходимости. Признак Лейбница.

Знакопеременный ряды – ряды, с членами разных знаков.

Пусть дан ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru рассмотрим знакоположительный ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Теорема1. Если ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru сходиться, то Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru - сходиться.

По свойствам сходимости рядов ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru – сходиться, т.к. для любого nЄN, 0 Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , то по признаку сравнения ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru - сходиться.

Значит ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru - сходиться.

Т.1. даёт достаточный признак сходимости, который не является необходимым. В связи с этим сформулируем определение 1:

· если ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru - сходиться, то говорят что ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru - сходиться абсолютно.

· если же ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru - сходиться, а ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru - расходиться, то говорят что Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru сходиться условно.

Знакочередующиеся ряды

Опр.2 Ими называют - ряды, члены которых поочередно меняют знак: a1-a2+a3-…

Где a1,a2,a3…. – одного знака. Удобно применять запись Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Признак Лейбница

Знакочередующийся ряд ( знаки членов которого строго чередуются) сходиться если:

1) Члены его убывают по абсолютному значению т.е. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru .

2) Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Замечание:

Признак Лейбница является достаточным, но не является необходимым.

Следствие 2.1

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ; Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ; Остаток не превышает по модулю первый из отброшенных членов.

Действительно остаток rn представляет собой ряд Лейбница Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Функциональные ряды

Определение . 1

Пусть Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru (X), Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru (x)… последовательность функций, определ-ых на некотороемножество X. Выражение видаЧисловые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ruназыв. — функциональным рядом.

Каждому значению Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ruсоответствует числовой ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , если последний ряд сходится, то Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ruназыв.—точкой сходимости.

Множество всех точе сходимости функционального ряда назыв.— областью сходимости.

Конечная сумма Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru —n-ая частичная сумма ряда.А функция S(x)= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru S(x) — суммой ряда.

Область определения D(S(x)) — область сходимости.

Функция Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru определенная на множестве D(S(x))назыв. — n-ый остаток ряда.Сходимость ряда в точке назыв. — поточечной.

Функциональный ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru назыв. — абсолютно сходящимся на множестве Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , если Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru то такой ряд сходится.

Опред. 2

Функциональный ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru назыв. — равномерно сходящимся в области D функции S(x), если Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru .

Отличие равномерной сходимости от поточечной в том, что номер Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru при равномерной сходимости зависит только от Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru и не зависит от X.А при поточечной сходимости Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru номер Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru свой.

Поэтому из равномерной сходимости следует поточечная.

Дадим определение поточечной сходимости области ряда D.

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru N( Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Следствие 2.1

В равномерно сходящемся ряде с непрерывно сходящимися членами возможен переход к пределу, т.е. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru S(x)=S( Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Определение 1

Ряд вида Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , где an, x Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru R, наз. степенным рядом по степеням Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru . При α=0 получаем ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru (*) по степеням x.

Т.к. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru любой ряд можно свести к виду (*), то в дальнейшем будем рассматривать только такие ряды. При х=0 степенной ряд (*) сходится.

Теорема Абеля:

Если степенной ряд (*) сходится в т. X0≠0, то он сходится абсолютно в интервале (-|X0|;|X0|) и сходится равномерно на любом отрезке [-q;q], где 0<q< X0

Определение 2:

Радиус сходимости степенного рядо – это такое число R что ряд сход. в (-R;R) и расходится Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Если ряд сходится только в точке X=0, то R=0. Для нахождения радиуса сходимости используют признак Доламбера и Коши.

Теорема:

Если радиус сходимости степенного ряда ≠0, то его сумма не прерывна в (-R;R)

Теорема:

Операции почленного интегрирования и дефференцирования степ. ряда не меняют его радиус сходимости.

Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть функция y=f(x) имеет в окрестности точки х0 производную любого порядка. Поставим в соответствие степенной ряд f(x) → f(х0) + f’(х0) (x- х0) + Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru (x-x0)2 + Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru (x-x0)n+ … = Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru (*)

Ряд (*) называется рядом Тейлора в окрестности точки х0 функции f(x).

Если х0=0 то ряд Тейлора f(x) → f(0) + f’(0)x + Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru x2 + Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru xn + … называется рядом Маклорена.

Радиус сходимости степенного ряда (*) может быть =0 или ≠0.

Причем в последнем случае сумма ряда может не совпадать с функцией f(x)

Важно знать S(x) = f(x).

Теорема 1 (Достаточный признак разложимости функций ряда Тейлора)

Если в некоторой окрестности (х0 –R; х0 +R) точки х0 все производные функции f(x) ограничены одной константой, то ряд сходится в функции f(x) в данной окрестности.

При условиях Т.1 ряд Тейлора сходится в функции для которой он составлен.

Свойства двойного интеграла

Поскольку конструкция двойного интеграла аналогична конструкции определенного интеграла, то они обладают аналогичными свойствами, поэтому докажем только одно.

1. Двойной интеграл от алгебраической суммы функции равна алгебраической сумме двойных интегралов данных функций.

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Док-во.

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

2. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

3. Если область интегрирования Dразбита на две области не имеющих внутренних точек D1 и D2, то двойной интеграл по области D равна

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

4. Если Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

5. Для непрерывной замкнутой области Dфункцииf(x,y)

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru где m, M соответственно наименьшее и наибольшее значение функции в области D.S-площадь в области D.

Приложение 3.1.

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru --длина L

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru -- масса точки L

КРИ 2-ого рода

Определение 1. Пусть дана ограниченная замкнутая линия L в пространстве OXYZ на плоскости OXY с ортонормированным базисом Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ( Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ). Если для каждой точки задан вектор Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru (P)=X(x;y;z) Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru +Y(x;y;z) Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru +Z(x;y;z) Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru . Тогда говорят, что заданная функция Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru с областью опр. L.

Определение 2. Линия называется ориентационной если указано направление её обхода: в каждой её точке задан ориентирующий вектор Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru (p)= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru направленный по касательной к линии в сторону перемещения .

Определение 3. Пусть даны ориентированные линии L и векторная функция Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru (p) заданная на L . Разобьем линию L на n элементарных линий с длинами ∆ Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru на каждой из элементарных линий выбранных по точке Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru и составим интегральную сумму Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru )* Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ) ∆ Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Если существует конечный предел Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ( Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru )* Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ) ∆ Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

При стремлении max диаметра элементарных линий к 0, который не зависит от способа разбиения на элементарные линии и выбора точек Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , то он называется КРИ-2 рода от функции Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru (p), по ориентированной линии L и обозначается Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ∂l ;

Теорема 1. Если на ориентир. ограниченной замкнутой гладкой линии L координаты X(x;y;z), Y(x;y;z), Z(x;y;z) непрерывны, то КРИ-2 из опред 3 существует.

Основные свойства КРИ-2 аналогичны свойствам КРИ-1, например:

1) Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ∂l = Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ∂l Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ∂l

2) Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ∂l= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ∂l для Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru c Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru R

3) Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru = Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru + Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Где Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru содержит не более одной точки

4) КРИ-2 обладает рядом специфических св-в

При изменении направления обхода РИ-2 меняет знак: Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ∂l = - Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ∂l

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ∂l= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ∂l= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ∂l

Рассмотрим механическое истолкование КРИ-2:

Пусть сила Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru действует вдоль некоторой линии L меняясь как по величине, так и по направлению, т .е.: Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru = (X(x;y;z); Y(x;y;z); Z(x;y;z)), тогда работа силы при перемещении по элементарной дуге ∆ Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru при условии что сила постоянна и равна Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ), где Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru - некоторая точка дуги, равна ∆ Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru =| Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru )|- ∆ Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru - cos( Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ) Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ))= ( Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ) Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru )) ∆ Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Суммарная работа силы А= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ( Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ) Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru )) ∆ Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Переходя к пределу Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru →0 получим А= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ( Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ); Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru )) ∆ Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ∂l

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Т.е. с механической точки зрения КРИ-2 представляет собой работу переменной силы вдоль некоторой кривой.


Формула Грина

В случае замкнутого контура КРИ-2 обозначают Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru .Если направление обхода контура не указано, то предполагают, что обход конура совершают против часовой стрелки.

Пусть в плоскости ХОУ задана область Д ,ограниченная кривой L.

Предположим, что область Д правильная как в направлении оси ОХ, так и в направлении оси ОУ.

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru Д:x=a; x=b

y=y1(x)

y=y2(x)
Пусть в области Д заданы функции X(x;y) и Y(x;y)-непрерывно дифференцируемые

Тогда:

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru I1+I2

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

I2= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Аналогично

I2= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Таким образом

I1=- Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

I2= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

I=- Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru + Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Получим формулу Грина

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Замечание1 При изменении направления обхода,интеграл в правой части формулы меняет знак

Замечание 2 С помощью формулы Грина можно найти площадь плоской области

Если в скобках во втором интеграле получается 1,то Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Так,если Y=x/2;X=-4/2,то

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Аналогично при Y=x;X=0,
Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Если Y=0;X=-y
Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Векторные поля

Определение 1: Векторным полем называется пространство Rn или его часть,в каждом точке j-го определена векторная функция ā=ā(p)

Определение 2:Векторной линией(силовой) векторного поляā=ā(р) называется линия,в каждой точке Pj-й вектор ā(р) направлен по касательной.

Определение 3:Пусть ā=ā(р) – векторное поле R3 .Векторной трубкой называется поверхность,образованная векторными линиями,проходящ.из точки некоторой замкнутой кривой L,не совпадающей ни с одной из векторных линий.

Определение 4:Потоком вектора ā,через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т.е. П= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Физический смысл потока: он равен количеству жидкости,протекающей за единицу времени через данную поверхность.

Определение 5:Дивергенцией векторного поля ā(р)(расходимостью) наз.число обознач div āp(p) и равное lim-у отношения потока поля ā(р) из замкнутой поверхности Q к величине объема ∆V,огранич.данной поверхностью,когда ∆V Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru 0,т.е. при условии что ∆Q стягивается в т.Р

div ā(p)= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

т.о.divā(p) характеризует мощность наход.в точке Р источника,если divā(p)<0,и стока div ā(p)>0.

Если же div ā(p)=0,то в т.Р нет источников и стоков.

Свойства дивергенции:

1. Если ā – постоянный вектор, то div ā= 0.

2. div(c⋅ā) = с⋅divā, где с = const.

3. div (ā + b) = divā + divb т.е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.

4. Если U – скалярная функция, ā – вектор, то div (U⋅ā) = U⋅divā + āgradU.

Док-во (4 св-во):

divUā= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru + Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru + Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru = Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru *x Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru *u+ Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru *y+ Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru *u+ Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru *z+ Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru *u=

u( Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru + Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru + Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru )(x;y;z)*( Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ; Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ; Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru )=u*div ā+ā*grad u.

Теорема Остроградского-Гаусса:

Если векторная функция ā(р) непрерывно диф-ма в области V,огранич.замкнутой поверхностью Q,то поток векторного поля ā(р) из Q в направлении внешней нормали Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru da0= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через

замкнутую поверхность S (в направлении внешней нормали, т.е. изнутри) равен

тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V, ограниченному

данной поверхностью.

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии

Пусть а(n)=а12… - числовая последовательность. Выражение вида а12+…+аn = ∑n=1an – называется числовым рядом, числа а1, а2 … - члены ряда. аn – общий член ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда ∑k=1ak : a1 + a2 +…+ ak – называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается Sn

Если последовательность (Sn )имеет конечный предел S, то это число называется суммой ряда, а ряд – сходящийся. Если предел бесконечен или не существует, то ряд – расходящийся.

Пример 3. Рассмотрим вопрос о сходимости ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии.

b1+ b1q+ b1q2= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru b1≠0

1) если модуль q=1

b1+b1+b1+…+b1 ; Sn=b1+…+b1=n*b1

n

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru - Ряд расходиться

2) если модуль q= -1

ряд расходиться

3) если модуль q≠0

Sn= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Ответ: ряд сходиться при Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru (Sn= Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ) и расходиться при Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru ≥1.

Для числового ряда сумма ∑k=1ak выражение ak1+ak2+…=∑k=n+1a называется n-м остатком ряда. Для сходящегося числового ряда ∑k=1ak=∑k=1nak +∑k=n+1ak = Sn+rn.

Можно сказать, что последнее условие является не только необходимым , но и достаточным признаком сходимости ряда.

Теорема (необходимый признак сходимости ряда):

если ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru -сходиться, то Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru . Пусть Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru тогда Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

Теорема (достаточный признак расходимости):

если предел Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , то ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru расходиться.

Простейшие свойства сходящихся числовых рядов:

1) Перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.

2) Если ряды Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru и Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru сходятся, то ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru сходиться и его сумма Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru .

д-во:

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru

3) Если ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru сходиться к числу S, то ряд Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru сходиться к числу Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru , где Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии - student2.ru . Док-во аналогично св-ву 2.

Операции суммирования рядов и умножения рядов на число называются линейными.

Наши рекомендации