Авторегрессионные модели

Расчетные формулы

4.3.1.1. Модель авторегрессии первого порядка AR(1):

.

4.3.1.2. Модель скользящей средней MA(1) (самостоятельно обычно не используется):

,

где .

4.3.1.3. Авторегрессионная модель скользящей средней ARMA(1,1):

,

где – ненаблюдаемая ошибка в данном уравнении.

4.3.1.4. Коэффициент автокорреляции:

.

4.3.1.5. Доверительный интервал для k-го коэффициента автокорреляции:

.

4.3.1.6. Статистика для проверки по - критерию значимости коэффициентов автокорреляции:

,

где – объем выборочной совокупности;

– максимальный рассматриваемый лаг.

4.3.1.7. Статистика для проверки значимости единичного корня по критерию Дики – Фуллера:

,

где , а – стандартная ошибка .

4.3.1.8. В случае автокорреляции остатков для проверки значимости единичного корня применяется расширенный критерий Дики – Фуллера. В расширенном критерии статистика сравнивается с критическим значением, рассчитываемым по следующей формуле:

.

Значения составляющих EDF в зависимости от уровня значимости следующие:

или ;

или ;

или .

Если нулевая гипотеза проверяется для модели со свободным членом

,

то строится уравнение

и расчетное значение сравнивается с критическим значением EDF, рассчитываемым при:

или ;

или ;

или .

В тех случаях, когда модель содержит и свободный член, и тренд

,

то коэффициент определяется по уравнению

,

а критическое значение для проверки нулевой гипотезы рассчитывается при:

или ;

или ;

или .

Решение типовых задач

Задание 4.3.2.1. По данным табл. 4.3.2.1, характеризующим объем продаж спортивного оборудования для футбола, постройте модель ARIMA(p, q, 0), предварительно убедившись на 95%-ном уровне значимости в интеграции данного временного ряда и определив порядок авторегрессии. С помощью построенной модели осуществите прогнозные расчеты на два последующих периода.

Т а б л и ц а 4.3.2.1

Год	Назначение оборудования:
физические упражнения	гольф	кэмпинг	бейсбол	футбол	теннис

Решение с помощью табличного процессора Excel.

1. Ввод исходных данных и оформление их в виде табл. 4.3.2.2.

Т а б л и ц а 4.3.2.2

2. Проверка временного ряда на стационарность с помощью критерия Дики – Фуллера, т.е. проверка гипотезы

,

значительно меньше нуля.

2.1.Оценка с помощью метода наименьших квадратов (пакета анализа данных Excel) параметров модели

.

(9,349) (0,068)

2.2. Расчет статистики

и сравнение ее с критическим значением расширенного критерия Дики – Фуллера на 95%-ном уровне значимости, равным

.

Для данного уровня значимости ряд нестационарен, так как .

2.3. Разностное представление временного ряда

и оформление результатов в виде табл. 4.3.2.3.

Т а б л и ц а 4.3.2.3

			-1				-4				-3
				-1				-4				-3

2.4. Оценка с помощью метода наименьших квадратов параметров модели

.

(2,387) (0,252)

2.5. Расчет статистики

и сравнение ее с критическим значением расширенного критерия Дики – Фуллера на 95%-ном уровне значимости

.

Для данного уровня значимости ряд стационарен, так как и, следовательно, мы имеем дело с процессом I(1).

3. Определение порядка авторегрессии для преобразованного ряда.

3.1. Расчет частных коэффициентов автокорреляции.

Частный коэффициент автокорреляции первого порядка равен коэффициенту автокорреляции первого порядка, т.е. . Частный коэффициент автокорреляции второго порядка равен последнему коэффициенту авторегрессионного уравнения второго порядка, т.е. для его получения необходимо построить авторегрессионное уравнение второго порядка с помощью пакета анализа Excel по данным табл. 4.3.2.4.

Т а б л и ц а 4.3.2.4

		-1				-4				-3
			-1				-4				-3
				-1				-4

.

Получили, что значение частного коэффициента автокорреляции резко падает, следовательно, для преобразованного временного ряда имеет смысл строить модель ARIMA(1,1,0).

3.2. Осуществление прогнозных расчетов по авторегрессионной модели первого порядка, построенной в п. 2.4:

,

,

,

,

.

Задание 4.3.2.2. Руководство плодово-овощного концерна «Витамин», владеющего большими яблоневыми садами в настоящее время желает заглянуть в перспективу, чтобы ответить на вопрос о целесообразности дальнейшего расширения этих садов. С этой целью было решено построить ARMA-модель, с помощью которой получить прогнозные оценки потребления яблок в следующие два года. Данные, отражающие динамику среднегодового потребления яблок населением г. Воронежа (y, т.), представлены в табл. 4.3.2.5.

Т а б л и ц а 4.3.2.5

T
Y
T
Y
T
Y

Решение табличного процессора Excel

1. Ввод исходных данных и оформление их в удобном для проведения расчетов виде.

2. Настройка параметра .

2.1. Присвоение первоначального значения параметру

.

2.2. Расчет преобразованных значений по следующим формулам:

, , .

(Два последних значения будут использоваться в качестве контрольной выборки для настройки параметра ).

2.3. Формирование ряда значений , .

2.4. Оформление полученных результатов в виде табл. 4.3.2.6.

Т а б л и ц а 4.3.2.6

						6521,01	6610,13
						6412,10	6521,01
		5420,80				6591,21	6412,10
		5452,08	5420,80			6779,12	6591,21
		6405,21	5452,08			6907,91	6779,12
		6400,52	6405,21			7360,79	6907,91
		6590,05	6400,52			7546,08	7360,79
		6779,01	6590,05			7494,61	7546,08
		5727,90	6779,01			7679,46	7494,61
		5712,79	5727,90			7637,95	7679,46
		6401,28	5712,79			8113,79	7637,95
		6610,13	6401,28			8491,38	8113,79

2.5. Нахождение текущих значений параметров регрессии

,

с помощью «Пакета анализа» Excel (см. Вывод итогов 4.3.2.1).

Таким образом, , , а сама модель записывается в виде

.

2.6. Расчет параметров регрессии для исходного ряда

; .

Следовательно, модель для исходных данных записывается в виде

.

2.7. Вычисление по построенной модели прогнозных значений для моментов времени 25; 26.

2.8. Определение суммы квадратов отклонений прогнозных от фактических значений потребления яблок.

ВЫВОД ИТОГОВ 4.3.2.1
Регрессионная статистика
Множественный R	0,900037
R-квадрат	0,810067
Нормированный R-квадрат	0,801023
Стандартная ошибка	378,3206
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия				89,56557	5,04E-09
Остаток			143126,4
Итого
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	683,5531	642,6216	1,063695	0,299546	-652,852	2019,958
Переменная X 1	0,919154	0,097122	9,463909	5,04E-09	0,717178	1,12113

2.9. Оформление полученных результатов в виде табл. 4.3.2.7.

Т а б л и ц а 4.3.2.7

		7674,30	21228,71
		7802,98	5326,19
	26554,91

2.10. Последовательное изменение параметра в интервале (0; 1) с шагом 0,1 и проведение всех расчетов п. 2.1-2.9. Оформление промежуточных результатов в виде табл. 4.3.2.8.

Т а б л и ц а 4.3.2.8

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	26554,9	43026,3	78931,6
	0,6	0,7	0,8	0,9
			53245,1	25672,8

2.11. Уточнение параметра =0,90 с шагом 0,01 и проведение всех расчетов п. 2.1-2.9. Оформление промежуточных результатов в виде табл. 4.3.2.9.

Т а б л и ц а 4.3.2.9

	0,91	0,92	0,93	0,94	0,95	0,96
	25082,25	25048,00	25615,18	26830,12	28740,29	31393,99

Таким образом, оптимальным параметром является = 0,92.

3. Построение прогнозной модели с использованием оптимального параметра = 0,92 путем последовательного выполнения шагов 2.2. – 2.6 для . В результате получится модель, которая записывается в виде

.

4. Расчет по построенной модели прогнозных оценок потребления яблок на два года

,

.