Способы корректировки автокорреляции (авторегрессионные модели первого порядка) (15 баллов)

Автокорреляция- зависимость текущих значений случайного члена от их непосредственно предшествующих значений.

Существуют различные способы устранения и корректировки автокорреляции: введение в модель фактора времени, переход к темповым или относительным показателям, включение в модель неучтенных факторов.

Также одним из таких способов является построение авторегриссионных уравнений.

Авторегрессия 1-го порядка: AR(1)

Авторегрессионной моделью первого порядка называется метод устранения автокорреляции первого порядка между соседними членами остаточного ряда в линейных моделях регрессии либо моделях регрессии, которые можно привести к линейному виду.

Применение авторегрессионной схемы первого порядка требует априорного знания величины коэффициента автокорреляции. Однако в связи с тем, что величина данного коэффициента заранее неизвестна, в качестве его оценки рассчитывается выборочный коэффициент остатков первого порядка ρ1.

В общем случае коэффициент автокорреляции порядка l рассчитывается по формуле:

где l – временной лаг;

T – число наблюдений;

t – момент времени, в который осуществлялось наблюдение;

x ср.– среднее значение исходного временного ряда.

Предположим, что на основе собранных наблюдений была построена линейная парная модель регрессии:

yt=β0+β1xt+εt.(1)

Рассмотрим применение авторегрессионной схемы первого порядка на примере данной модели.

Исходная линейная модель парной регрессии с учётом процесса автокорреляции остатков первого порядка в момент времени t может быть представлена в виде:

yt=β0+β1xt+ρεt-1+νt,.

εt=ρεt-1+νt,

где ρ – коэффициент автокорреляции, |ρ|<1;

νt – независимые, одинаково распределённые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2(νt).

Модель регрессии в момент времени (t-1) может быть представлена виде:

yt-1=β0+β1xt-1+εt-1.(2)

Если модель регрессии в момент времени (t-1) умножить на величину коэффициента автокорреляции β и вычесть её из исходной модели регрессии в момент времени t, то в результате мы получим преобразованную модель регрессии, учитывающую процесс автокорреляции первого порядка:

Для более наглядного представления преобразованной модели воспользуемся методом замен:

Yt=yt–ρyt-1;

Xt=xt–ρxt-1;

Zt=1– ρ.

В результате преобразованная модель регрессии примет вид:

Yt= Zt* β0+β1 Xt+ νt. (4)

В преобразованной модели регрессии случайная ошибка βt не подвержена процессу автокорреляции, поэтому можно считать автокорреляционную зависимость остатков модели устранённой.