П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики

Определение 24.5. Центральной статистикой для параметра Q называется функция Ф(х1, …, хn, Q) = Ф(Х; Q), где х1, …, хn – случайная выборка, распределение которой не зависит от Q при любых хk (k = 1, …, n), Ф(Х, Q) непрерывна и монотонна по Q.

Схема построения доверительных интервалов с использованием центральной статистики следующая.

1) По известной функции распределения центральной статистики
Ф(Хn, Q) находятся числа m1 и m2, удовлетворяющие условию

Р(m1 £ Ф(Хn, Q) £ m1) = 1 - a.

2) Ищутся границы П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru и П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru из уравнений

П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru = Ф-1(Xn, m1), П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru = Ф-1(Xn, m2),

если Ф(Хn, Q) монотонно возрастающая функция, и

П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru = Ф-1(Xn, m2), П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru = Ф-1(Xn, m1),

если Ф(Хn, Q) монотонно убывающая функция.

Ф-1n, Q) – функция, обратная Ф(Хn, Q).

Данный метод удобно применять при построении доверительных интервалов для оценки независимых параметров а и s2 нормального распределения.

Известно следующее утверждение.

Теорема. (Теорема Фишера) Пусть выборка х1, х2, …, хn извлечена из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение с параметрами а и s2. Пусть П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru и П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru – выборочная средняя и дисперсия – случайные величины, принимающие различные значения в различных выборках. Тогда

1) СВ П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru имеет нормальное распределение с параметрами M(N*) = 0, D(N*) = 1.

2) СВ П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru имеет распределение c2(n – 1).

3) СВ П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru имеет распределение Стьюдента t (n – 1).

4) СВ П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru и П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru – независимы.

Данную теорему примем без доказательства.

Построим доверительные интервалы для оценки неизвестных параметров а и s2 нормального распределения.

1) По выборке х1, …, хn построим доверительный интервал для неизвестного математического ожидания а при известной дисперсии.

Рассмотрим СВ П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru . Данная функция распределена по нормальному закону с параметрами а = 0 и s2 = 1, непрерывна и монотонно убывает относительно параметра а. Значит, N* является центральной статистикой.

Составим двойное неравенство

П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru ,

где величины m1 и m2 подобраны таким способом, чтобы выполнялось условие П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru . Заметим, что это условие не является однозначным, поэтому, чтобы интервал оказался минимальной длины, следует положить m2 = - m1 = t.

Получим

П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru ,

где t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t) = g.

П р и м е р 1. Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для неизвестного математического ожидания а нормально распределенной СВ Х, если s2 = 16, П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru = 12, объем выборки n = 100.

Решение. Поскольку СВ Х распределена нормально и известно s2, то

П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru .

Значение t найдем из условия Ф(t) = 0,95. Из таблицы II для функции Лапласа найдем t = 1,96. Получим

П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru ,

т.е.

11,216 £ а £ 12,784.

2) В предыдущем пункте мы полагали, что параметр s2 известен. Однако на практике такие случаи встречаются редко. Поэтому усложним предыдущую задачу и поставим цель найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания СВ Х, имеющей нормальное распределение при неизвестном параметре s2.

Пусть по имеющейся выборке мы рассчитали П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru и выборочную дисперсию П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru .

В качестве центральной статистики в этом случае используем СВ П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru . Действительно, данная случайная величина имеет распределение Стьюдента t(n – 1), не зависящее от П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru , непрерывна и монотонно убывает по а. Найдем значения m2 = - m1 = tg. Получим

П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru

или

П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru ,

где tg - квантиль уровня П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru распределения Стьюдента.

П р и м е р 2. Найдем доверительный интервал для неизвестного математического ожидания а нормально распределенной СВ Х с надежностью 0,95, если П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru (исправленная выборочная дисперсия) равна 16, П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru = 12, n = 100.

Решение. Поскольку П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru , то

П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru .

Для данной задачи

П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru .

Значение tg = t(0,95; 99) найдем по таблице IV (см. приложение). tg = 1,984.

12 – 0,7936 £ а £ 12 + 0,7936,

11,2064 £ а £ 12,7936.

Заметим, что при схожих условиях примеров 24.1 и 24.2 доверительный интервал для параметра а в последнем случае оказался шире, что вполне естественно вследствие уменьшения информации о генеральной совокупности во втором примере.

3) Найдем доверительный интервал для неизвестного параметра s2 СВ Х, имеющей нормальное распределение.

В качестве центральной статистики используем величину П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru . Действуя аналогично тому, как это делалось в предыдущих случаях, получим

П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru

или

П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru ,

где квантили хg и х1-g находятся из таблицы VI распределения c2 при данных П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru .

П р и м е р 3. Найти доверительный интервал для неизвестного параметра s нормально распределенной СВ Х, если П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru = 10, n = 20, a = 0,05.

Решение.

П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru .

Из таблицы VI найдем х0,975(19) = 32,9, х0,025(19) = 8,91.

П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru ,

57,7 £ s2 £ 213,2,

7,6 £ s £ 14,6.

Таблица для c2 составляется обычно для n £ 30. При выборках большего объема можно считать, что величина П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru имеет стандартное нормальное распределение с параметрами а = 0 и s = 1. Поэтому при расчете доверительного интервала надо полагать П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru , П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики - student2.ru . Значение t определяется из уравнения Ф(t) = g.

Наши рекомендации