Тема 12. Интервальные оценки. Построение доверительных интервалов

Точечные оценки параметров не дают информации о степени близости к соответствующему теоретическому параметру. Если объем выборки мал, то точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. Вычисленная точечная оценка может быть близка к оцениваемому параметру, а может и очень сильно отличаться от него. Точечная оценка не несет информацию о точности процедуры оценивания.

Интервальная оценка – это числовой интервал, который определяется двумя числами – границами интервала - и содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.

Пусть имеется выборка объема и - статистическая оценка неизвестного параметра ( - случайная величина, т.к. найдена по выборочным данным).

Доверительным интервалом называется интервал со случайными границами ( , ), в котором с заданной вероятностью находится оцениваемый параметр

Вероятность называется доверительной вероятностью.

Доверительная вероятность задается априорно. Чем ближе к единице, тем точнее оценка. Для практических целей обычно выбирают ; 0,99 или 0,9973. Доверительная вероятность, например, 0,95 означает, что мы пренебрегаем возможностью появления события (считаем его невозможным), вероятность которого меньше 1-0,95=0,05.

Т.к. при различных выборках получаются различные значения оценки , то и доверительные границы изменяются от выборки к выборке. Поэтому лучше говорить не о вероятности попадания параметра в доверительный интервал, а о вероятности того, что доверительный интервал накроет параметр .

Доверительный интервал применяется в случае сравнительно небольшого объема выборки, когда предполагается, что надежность точечной оценки может быть невысокой.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания случайной величины с заданной надежностью в случае нормального закона распределения определяется на основе неравенств

,

где — значение аргумента функции Лапласа, получаемое из таблиц (см. Приложение 1), с учетом того, что ;

— известное среднее квадратичное отклонение или его оценка;

— объем выборки.

Пример 1. Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины , если известны ее среднее квадратическое отклонение , выборочное среднее и объем выборки .

Решение. По надежности из соотношения находим значение функции Лапласа: .

По таблице значений функции Лапласа (см. Приложение 1) находим . Используя неравенства для интервальной оценки математического ожидания, получаем

или .