Построение доверительных интервалов

Общая схемапостроения доверительного интервала:

1. Из генеральной совокупности с известным распределением построение доверительных интервалов - student2.ru построение доверительных интервалов - student2.ru построение доверительных интервалов - student2.ru извлекается выборка объема построение доверительных интервалов - student2.ru , по которой находится точечная оценка построение доверительных интервалов - student2.ru параметра построение доверительных интервалов - student2.ru .

2. Строится построение доверительных интервалов - student2.ru построение доверительных интервалов - student2.ru , связанная с параметром построение доверительных интервалов - student2.ru и имеющая известную плотность вероятности построение доверительных интервалов - student2.ru .

3. Задается уровень значимости построение доверительных интервалов - student2.ru .

4. Используя плотность вероятности построение доверительных интервалов - student2.ru построение доверительных интервалов - student2.ru , определяют два числа построение доверительных интервалов - student2.ru и построение доверительных интервалов - student2.ru такие, что построение доверительных интервалов - student2.ru (27)

5. Выбираются значения построение доверительных интервалов - student2.ru и построение доверительных интервалов - student2.ru из условий

построение доверительных интервалов - student2.ru построение доверительных интервалов - student2.ru .

Неравенство построение доверительных интервалов - student2.ru преобразуется в равносильное построение доверительных интервалов - student2.ru такое, что построение доверительных интервалов - student2.ru (28)

Полученный интервал построение доверительных интервалов - student2.ru , накрывающий неизвестный параметр построение доверительных интервалов - student2.ru с вероятностью построение доверительных интервалов - student2.ru , и является интервальной оценкой параметра построение доверительных интервалов - student2.ru .

Интервальная оценка также носит случайный характер, т.к. она напрямую связана с результатами выборки. Она позволяет сделать следующий вывод.

Если построен доверительный интервал, который с надежностью построение доверительных интервалов - student2.ru накрывает неизвестный параметр, и его границы рассчитываются по построение доверительных интервалов - student2.ru выборкам одинакового объема построение доверительных интервалов - student2.ru , то в построение доверительных интервалов - student2.ru случаях построенные интервалы накрывают истинное значение исследуемого параметра.

Поскольку в эконометрических задачах часто приходится находить доверительные интервалы параметров случайных величин, имеющих нормальное распределение, приведем схемы их определения.

I. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной построение доверительных интервалов - student2.ru при известной дисперсии

Пусть количественный признак построение доверительных интервалов - student2.ru генеральной совокупности имеет нормальное распределение с заданной дисперсией построение доверительных интервалов - student2.ru и неизвестным математическим ожиданием m (X ~ N (m, σ2)).

Построим доверительный интервал для построение доверительных интервалов - student2.ru .

1. Пусть для оценки построение доверительных интервалов - student2.ru извлечена выборка построение доверительных интервалов - student2.ru объема построение доверительных интервалов - student2.ru . Тогда построение доверительных интервалов - student2.ru

2. Составим СВ построение доверительных интервалов - student2.ru . Нетрудно показать, что СВ построение доверительных интервалов - student2.ru имеет стандартизированное нормальное распределение, т.е. построение доверительных интервалов - student2.ru

3. Зададим уровень значимости построение доверительных интервалов - student2.ru .

4. Применяя формулу нахождения вероятности отклонения нормальной величины от математического ожидания, имеем:

построение доверительных интервалов - student2.ru (29)

Это означает, что доверительный интервал построение доверительных интервалов - student2.ru накрывает неизвестный параметр построение доверительных интервалов - student2.ru c надежностью построение доверительных интервалов - student2.ru Точность оценки определяется величиной построение доверительных интервалов - student2.ru

Отметим, что по таблице Лапласа число построение доверительных интервалов - student2.ru определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства построение доверительных интервалов - student2.ru .

II. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной СВ при неизвестной дисперсии.

В реальной жизни истинное значение дисперсии исследуемой СВ, чаще всего, известно не будет. Это приводит к необходимости использования другой формулы при определении доверительного интервала для математического ожидания СВ, имеющей нормальное распределение.

Для этого из генеральной совокупности СВ построение доверительных интервалов - student2.ru извлекается выборка объема построение доверительных интервалов - student2.ru

1.В качестве точечной оценки математического ожидания построение доверительных интервалов - student2.ru используется выборочное среднее построение доверительных интервалов - student2.ru а в качестве оценки дисперсии построение доверительных интервалов - student2.ru исправленная выборочная дисперсия построение доверительных интервалов - student2.ru которой соответствует стандартное отклонение построение доверительных интервалов - student2.ru

2. Для нахождения доверительного интервала строится статистика построение доверительных интервалов - student2.ru имеющая в этом случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы построение доверительных интервалов - student2.ru независимо от значений параметров построение доверительных интервалов - student2.ru и построение доверительных интервалов - student2.ru

3. Задается требуемый уровень значимости построение доверительных интервалов - student2.ru .

4. Применяется следующая формула расчета вероятности построение доверительных интервалов - student2.ru (30)

где построение доверительных интервалов - student2.ru - критическая точка распределения Стьюдента, которая находится по соответствующей таблице.

Тогда построение доверительных интервалов - student2.ru

(31)

Это означает, что интервал построение доверительных интервалов - student2.ru накрывает неизвестный параметр построение доверительных интервалов - student2.ru с надежностью построение доверительных интервалов - student2.ru

Наши рекомендации