Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии

Пусть с испытанием связана случайная величина с неизвестными числовыми характеристиками (а, D) и пусть по выборке (40) вычислены оценки

Зададимся числом р в интервале (0,1).

Теорема. В указанной ситуации при достаточно большом объеме выборки с вероятностью р имеют место неравенства

(44)

. (45)

Интервалы (44), (45) называются доверительными интервалами для математического ожидания и дисперсии. Число р называется уровнем доверия или доверительной вероятностью.

Здесь n-объем выборки, -квантили распреде-лений Пирсона и Стьюдента.

Указанные интервалы иногда называют интервальными оценками для математического ожидания и дисперсии.

Пример. Выполнена выборка значений случайной величины объема n = 25 и вычислены состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания и

дисперсии: Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р = 0,95.

В силу неравенств (44), (45) с р = 0,95 имеют место интервальные оценки:

;

.

По таблице квантилей (IV, V) найдем:

.

Подставляя эти значения, получим: с вероятностью 0,95 верны неравенства:

Общая схема проверки гипотез по данным опыта

Пусть исследователем выдвинута по некоторым соображениям гипотеза Н и требуется проверить справедливость этой гипотезы по данным опыта.

Укажем правило (схему) проверки гипотезы, разработанную в математической статистике.

Пусть построена статистика (функция от выборки) со следующим свойством: если гипотеза Н верна, то известен закон распределения случайной величины Z.

1. Задаются малым числом , (например, a = 0,01 или a = 0,05) и находят множество V значений случайной величины Z такое, что

. (46)

Z

V

2. Производят выборку и вычисляют значение Z по этой выборке. Обозначим его .

Возможны два случая:

Z

Z

.

V V

Гипотеза отвергается Гипотеза принимается

Комментарии: В первом случае гипотеза не согласуется с данными опыта, т.к. при этой гипотезе вероятность попадания Z в область V ничтожно мала (46).

В этом случае говорят: расхождение гипотезы с данными опыта значительно.

Во втором случае гипотеза согласуется с данными опыта, т.к. при этой гипотезе вероятность попадания в область равна .

Расхождение гипотезы с опытом незначимо.

Термины:

V – критическая область;

- область принятия гипотезы;

a - уровень значимости;

- критерий проверки гипотезы.

3. На практике критическую область V находят следующим образом. Вычисляют квантиль случайной величины уровня . Тогда V – множество значений Z, больших либо равных (рис. (33)).

X

V

Рис.33

В самом деле, из определения квантиля следует:

.