Доверительные интервалы для оценки дисперсии при неизвестном математическом ожидании.

Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами a и s, где a – неизвестно и σ² – неизвестно.

Функция имеет χ²-распределение со степенями свободы (n-1) и является непрерывной и строго возрастающей.

Выполнив преобразования, получим:

инаходятся по таблице критических точек χ²-распределения по уровню значимости α и степени свободы (n-1).

Проверка статистических гипотез: основные понятия.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Например, статистическими являются гипотезы:

1) генеральная совокупность распределена по закону Пуассона;

2) дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой.

В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного распределения, во второй – о параметрах двух известных распределений.

Гипотеза называется параметрической, если в ней содержится некоторое утверждение о значение параметра распределения известного вида. В непараметрической гипотезе заключается утверждение обо всем распределении.

Параметрическую гипотезу называют простой, если в ней речь идет ровно об одном значении параметра. В противном случае имеют дело со сложной гипотезой.

Проверяемая гипотеза называются нулевой и обоз. H₀.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают конкурирующую или альтернативную ей гипотезу H₁, являющуюся логическим отрицанием H₀. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место альтернативная гипотеза.

Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание a нормального распределения равно H₀: a=10; H₁: или a>10 или a<10.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу H₀, называется критерием.

Так как решение принимается на основе выборки наблюдений случайной величины Х, необходимо выбрать подходящую статистику, называемую в этом случае статистикой Z критерия К. При проверке простой параметрической гипотезы H₀: θ=θ₀ в качестве статистики критерия выбирают ту же статистику, что и для оценки параметра θ.

Проверка статистической гипотезу основывается на том принципе, в соответствии с которым маловероятные события считаются невозможными, а события, имеющие большую вероятность, считаются достоверными. Этот принцип можно реализовать следующим образом. Перед анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность α, называемая уровнем значимости. Пусть V – множество значений статистики Z, V_k V – такое подмножество, что при условии истинности гипотезы H₀ вероятность попадания статистики критерия в V_k равна α, т.е. P{Z V_k/ H₀}= α.

Обозначив z_в выборочное значение статистики Z, вычисленное по выборке наблюдений. Критерий формируется следующим образом: отклонить гипотезу H₀, если z_в V_k; принять гипотезу H₀, если z_в V_k. Критерий, основный на использовании заранее заданного уровня значимости, называют критерием значимости. Множество V_k всех значений статистики критерия Z, при которых решение отклонить гипотезу H₀, называется критической областью; область V_k называется областью принятия гипотезу H₀.

Уровень значимости α определяет размер критической области V_k. Положение критической области на множестве значений статистики Z зависит от формулировки альтернативной гипотезы.

В первых двух случаях – односторонняя критическая область, в 3 – двусторонняя.

Таким образом, проверка параметрической статистической гипотезы при помощи критерия значимости может быть разбита на следующие этапы:

1) сформулировать проверяемую H₀ и альтернативную H₁ гипотезы;

2) назначить уровень значимости α;

3) выбрать статистику Z критерия для проверки гипотезы H₀;

4) определить выборочное значение статистики Z;

5) в зависимости от формулировки альтернативной гипотезы определить критическую область V_k одним из неравенств или совокупностью неравенств

6) принять статистическое решение:

если z_в V_k, то отклонить гипотезу H₀ как не согласующуюся с результатами наблюдений;

если z_в V_k, то принять гипотезу H₀, т.е. считать, что гипотеза H₀ не противоречить результатам наблюдений.

Статистическое решение может быть ошибочным. При этом различают ошибки первого и второго рода. Ошибкой первого рода называется ошибка, состоящая в том, что гипотеза H₀ отклоняется, в то время как она верна. Вероятность ошибки первого рода равна вероятности попадания статистики критерия в критическую область при условии, что верна гипотеза H₀, т.е. равна уровню значимости α:

Ошибка второго рода происходит в том случае, если гипотеза H₀ принимается, но в действительности верна альтернативная гипотеза H₁. Вероятность ошибки второго рода β можно вычислить по формуле: .

Правильное решение также может быть двух родов:

1) будет принята гипотеза H₀, тогда как и на самом деле в генеральной совокупности верна гипотеза H₀, вероятность такого решения 1- α;

2) будет принята гипотеза H₁, тогда как и на самом деле в генеральной совокупности верна гипотеза H₁, вероятность такого решения 1-β называют мощностью критерия.

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона.