Свойства математического ожидания и дисперсии

Математическое ожидание Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru случайной величины q – это среднее значение, вокруг которого группируются все результаты измерения.

Дисперсией Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru случайной величины q называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от её математического ожидания M(q)

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

В связи с тем, что единица дисперсии (единица ФВ возведённая в квадрат) неудобна для применения, на практике при точечной оценке случайной величины используется среднее квадратическое отклонение (с. к. о.)

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

1. Если все значения случайной величины q, не меняя их вероятности уменьшить (увеличить) на некоторое число a, то:

а) математическое ожидание M(q) уменьшится (увеличится) на это же число

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

б) дисперсия D (q) не изменится

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

2. Если все значения случайной величины q, не меняя их вероятности, умножить на некоторый множитель b (> 1 или < 1), то:

а) математическое ожидание M(q) умножится на этот же множитель

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

б) дисперсия D (q) умножится на квадрат этого множителя

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

3.а) математическое ожидание M(q) суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

б) дисперсия D (q) суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

4. а) математическое ожидание M(q) произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

б) дисперсия постоянной величины a равна 0 Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Пример:

При измерении случайной величины q с математическим ожиданием Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru и дисперсией Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru получен следующий исправленный ряд результатов

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru .

Каждый результат уменьшается на одно и то же постоянное число a и умножается на один и тот же постоянный множитель b. Получается случайная величина Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

для другого ряда результатов

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

По формулам раздела 1.1 находится математическое ожидание Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru и дисперсия Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru второго ряда.

Исходя из первого и второго свойств математического ожидания и дисперсии, определяются Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru и Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru для исходного ряда результатов измерений:

а) Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru ;

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

б) Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Величины a и b выбираются исходя из максимального уменьшения разрядов чисел первого ряда для получения второго ряда с целью упрощения вычислений.

1.4 Обработка результатов прямых неравноточных измерений

Результаты неравноточных измерений получаются при повторных многократных измерениях одного и того же истинного значения Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru измеряемой ФВ, разными наблюдателями, разными средствами измерений, в разное время. При этом получается несколько серий таких результатов

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

………………….;

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

где m – число серий результатов;

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - число результатов измерений в каждой серии.

Ко всем этим сериям наблюдений предъявляется основное требование: соблюдение единства условий измерения в отношении всех влияющих и учитываемых факторов и максимальной тщательности проведения измерений.

После точечной оценки (см. раздел 1.1) неравноточные измерения приводят к результатам

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Для оценки наиболее вероятного значения ФВ по результатам неравноточных измерений вводится понятие “вес” для каждой серии результатов измерений в общей их совокупности, т. е. проводится оценка степени их доверия для получения значения измеряемой ФВ, наиболее близкого к истинному.

Таким образом, понятие “вес” отражает степень доверия к результату измерения. Чем больше степень доверия, тем больше число, выражающее этот “вес”.

Среднее взвешенное значение Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru измеряемой ФВ, наиболее близкое к истинному её значению Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , определяется по формуле

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (1.26)

где Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - средние значения для отдельных серий результатов, полученных тем или иным способом;

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - “веса” соответствующих серий результатов.

“Веса” серий результатов можно определить следующими способами:

а) при известных Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru и Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru каждой серии результатов по формуле

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (1.27)

б) при неизвестных Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (1.28)

в) при Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (одинаковые в каждой серии результатов)

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (1.29)

Среднее квадратическое отклонение Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru среднего взвешенного Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru вычисляется по формуле

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (1.30)

Окончательный результат записывается в виде

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , при pД = ,

где Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - абсолютная погрешность (доверительный интервал) среднего взвешенного Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru .

Доверительный интервал Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru определяется таким же образом, как и при равноточных измерениях (см. раздел 1.1):

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - при нормальном законе распределения;

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - при распределении Стьюдента.

2. МЕТОДИКА ОБРАБОТКИ КОСВЕННЫХ ВИДОВ ИЗМЕРЕНИЙ

При косвенных видах измерений значение искомой величины Y получают на основании прямых видов измерений величин Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , связанных с измеряемой известной функциональной зависимостью

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , (2.1)

где Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - подлежащие прямым измерениям аргументы функции искомой величины Y

.

2.1 Общий случай

В уравнениях связи аргументы Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru представлены в виде результатов многократных прямых видов измерений

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

………………….;

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (2.2)

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

………………….;

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

где Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - число результатов прямых видов измерений аргументов Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru ;

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - число аргументов в уравнении связи (2.1).

Исходя из уравнений связи (2.1) необходимо найти искомый результат Y.

1. На основании формул (1.5) и (1.8) раздела 1.1 проводится точечная оценка каждого аргумента, т. е. находятся значения Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru и Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . Точечная оценка приводит к результатам

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (2.3)

2. Исходя из уравнения связи (2.1) оценивается искомый результат

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.4)

3. Оценка дисперсии искомого результата

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , (2.5)

где Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - частная производная аргумента Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , которая называется коэффициентом влияния.

Следует отметить, что при Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - такие коэффициенты влияния не учитываются.

Произведения частных производных уравнения связи на с. к. о. результатов измерения соответствующих аргументов называются частными погрешностями косвенного измерения

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.6)

Оценка коэффициента корреляции между каждой парой аргументов определяется по формуле

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , (2.7)

где Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - наименьшее из чисел наблюдений nk и nl соответственно аргументов Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru и Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru .

Коэффициент корреляции определяет степень связи между случайными величинами. Возможные значения коэффициента корреляции лежат в интервале Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru .

Коэффициент корреляции Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru тогда и только тогда, когда между результатами наблюдений Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru и Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru существует линейная функциональная зависимость (погрешности измеряемых ФВ являются зависимыми).

Если Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , то погрешности измерения аргументов Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru и Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru некоррелированы (погрешности измеряемых ФВ являются независимыми). В этом случае формула (2.5) примет вид

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.8)

Формула (2.8) обычно справедлива, когда рассматриваемые аргументы Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru и Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru измеряют в разное время и для их измерения применяют разные по устройству средства измерений.

Корреляция между погрешностями аргументов чаще всего возникает в тех случаях, когда измерения выполняются одновременно и изменения влияющих величин (температуры воздуха, напряжения питания и т.п.), хотя и допустимые сами по себе, оказывают некоторое влияние на результаты наблюдений.

Критерием отсутствия корреляции между рассматриваемой парой аргументов Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru и Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru является выполнение неравенства

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru < tp, (2.9)

где Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru ; (2.10)

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - коэффициент Стьюдента находится по табл. П-4;

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - уровень значимости;

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - принятая доверительная вероятность.

4. Оценка погрешности искомого результата:

а) Если число результатов, выполненных при измерении всех аргументов, превышает 25 – 30, то

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (2.11)

где t = f (рД) - коэффициент стандартного нормального распределения находится по табл. П-1 функции Лапласа.

б) При меньшем числе наблюдений пользуются распределением Стьюдента (см. табл. П-4)

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (2.12)

где tp=f(q; kэф) - коэффициент Стьюдента.

Эффективное число степеней свободы kэф определяется по формуле

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (2.13)

где nj – число результатов прямых измерений аргумента Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru .

При равном числе наблюдений всех аргументов, т.е. при n1= n2=…= nm= n

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (2.14)

Эффективное число степеней свободы обычно получается дробным, поэтому для отыскания величины tp данные табл. П-4 приходиться интерполировать.

Окончательный результат записывается в виде

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , при Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.15)

2.2 Частный случай

В уравнениях связи (2.1) значения аргументов заданы в виде

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru ….; Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (2.16)

т. е. заданы своими доверительными интервалами

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , (2.17)

где Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - коэффициент аргумента Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , зависящий от принятого закона распределения результатов измерения этого аргумента и принятой доверительной вероятности Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru .

При отсутствии корреляционной зависимости между погрешностями измерений аргументов (коэффициент корреляции Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru ) и при одинаковой доверительной вероятности Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru всех аргументов Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru ( Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru ) уравнения связи (2.1), оценка погрешности Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru искомого результата будет иметь вид

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.18)

Формула (2.17) получена из равенства (2.8) путём умножения левой и правой частей его на коэффициент Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . Окончательный результат записывается аналогично (2.15).

2.3 Критерии ничтожных частных погрешностей

Оценка дисперсии косвенного результата измерения (2.8), с учётом частных погрешностей (2.6), может быть выражена через частные погрешности Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.19)

В соответствии с ГОСТом 8.011-72 “Показатели точности измерения и формы представления результатов измерения” погрешность результата округляется до одной, двух значащих цифр. Это соответствует 5% изменения погрешности результата. Следовательно, изменение левой части выражения (2.19) на 5% (0,05) не повлияет на округлённое значение Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , т. е. при округлении справедливо равенство

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.20)

Если имеется частная погрешность Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru составляющая менее 5% от Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , то справедливо неравенство

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru < Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.21)

Решим неравенство (2.21) относительно Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru < Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru < Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

т. к. в соответствии с (2.19)

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru < Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

и после преобразований получим

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru < Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

или

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru < Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.22)

Формула (2.22) в метрологии называется критерием ничтожных частных погрешностей, а сами погрешности, отвечающие неравенству (2.22) называются ничтожными или ничтожно малыми.

На основании ничтожных частных погрешностей (2.22) можно пренебречь целой группой частных погрешностей, если выполняется неравенство

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru < Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , (2.23)

где Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - максимальная из всех частных погрешностей.

2.4 Погрешности результата косвенного вида измерений

для наиболее распространённых уравнений связи

1. Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.24)

2. Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.25)

3. Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.26)

4. Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.27)

5. Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.28)

6. Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.29)

Если в уравнениях связи (2.28) и (2.29) аргументы заданы своими доверительными интервалами (2.16) и (2.17), то уравнения погрешностей (2.28) и (2.29) соответственно примут вид

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , (2.30)

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (2.31)

Примечания:

1. Во всех формулах для с. к. о. считается, что аргументы некоррелированы (независимы).

2. При возведении в степень значительно увеличивается погрешность результата, поэтому измерение величин, которые при дальнейших вычислениях возвышаются в степень, должно производится с особой точностью.

3. Величины, из которых при дальнейшей обработке извлекаются корни, могут измеряться с меньшей точностью, поскольку погрешность таких величин при обработке уменьшается.

2.5 Варианты заданий к разделу 2

Провести обработку косвенных видов измерений по заданным уравнениям связи в соответствии с данными табл. 2.1.

Таблица 2.1

Уравнения связи

№ варианта
Уравнение связи Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru
№ варианта
Уравнение связи Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Примечание к табл. 2.1: № варианта уравнения связи соответствует последней цифре № зачётной книжки студента.

Варианты заданий аргументов Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru для уравнений связи приведены в

табл. 2.2

Таблица 2.2

Варианты заданий аргументов

Варианты заданий Номера аргументов Варианты заданий Номера аргументов
Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

Примечания к табл. 2.2:

1. № варианта задания соответствует порядковому номеру фамилии студента в зачетной ведомости.

2. № аргументов соответствует номерам вариантов заданий к разделу 1.1. Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

3. МЕТОДИКА РАСЧЁТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ПОГРЕШНОСТИ СИ В ЭКСПЛУАТАЦИИ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ

КЛАССА ТОЧНОСТИ

Для рабочих условий эксплуатации метрологические характеристики (МХ) конкретного экземпляра аналоговых средств измерений (СИ) и цифроаналоговых преобразователей (ЦАП) в соответствии с ГОСТ 8.009-84 /2/ погрешности нормируются ком­бинациями: систематическая (DS), случайная Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru составляющие и вари­ация (H), которые рассчитываются по результатам одной и той же серии наблюдений одного и того же действительного значения физи­ческой величины X0 .

1.Оценка систематической составляющей Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru погрешности СИ

- с учетом вариации

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (3.1)

где Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru и Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - средние значения погрешностей в точке результата X0 , полученные экспериментально при медленных изменениях измеряе­мого параметра со стороны соответственно меньших и больших значе­ний до значения X0

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (3.2)

DМ i= XМi - X0; DБi = XБi - X0; (3.3)

где n- число результатов XМ (XБ),

- без учета вариации

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (3.4)

где 2n - число наблюдений при определении Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru .

2. Оценка среднего квадратического отклонения (с.к.о.) случайной составляющей Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru погрешности СИ

- с учетом вариации

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (3.5)

- без учета вариации

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (3.6)

3.Оценка вариации

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru . (3.7)

4.Наибольшее значение основной погрешности с вероятностью, близ­кой к единице, определяется по формуле

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (3.8)

Предельное значение систематической составляющей основной погреш­ности Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru нормируется всегда, т.к. реальные СИ не могут быть изготов­лены идеально точно. В свою очередь, одной из составляющих слу­чайной составляющей основной погрешности (H0 или Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru ) можно пренебречь, если она менее 10% другой. Критерии нормирования в соответствии с дву­мя неравенствами приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Критерии нормирования составляющих случайной погрешности

Неравенства
NN0 левая часть правая часть
  Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru   ³ 0,9   < 0,1   ³ 0,1 и < 0,9
    Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru   ³ 0,1   - Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru
Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru -   ³ 0,3 -
Нормируются Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru   Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru и Ho

Примечания к табл. 3.1: H0 и Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - не нормируются, если:

1)не выполняется любое из вторых неравенств, при соблюдении соот­ветствующих первых;

2)выполняется неравенство

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru < Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru .

5.Определение класса точности СИ.

При технических измерениях, когда не предусмотрено выделение Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru и Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru составляющих погрешности по ГОСТ 8.401-80 /3/ каждому СИ присваивается определенный класс точности (А).

Класс точности - это обобщенная МХ, определяющая различные свойс­тва СИ и включает в себя систематическую Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru и случайную Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru составляющие погрешности.

В основу класса точности (А) заложены следующие положения:

1)в качестве норм служат пределы допускаемых погрешностей, вклю­чающие Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru и Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru ; Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

2)основная погрешность D0 и дополнительная DC нормируются порознь.

Основная погрешность СИ формируется при нормальных условиях эксплуатации, когда влияющие величины (неинформативные параметры) равны нормам

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru ,

где l – число влияющих величин.

Для аналоговых СИ класс точности нормируется пределом допус­каемой основной приведенной погрешностью gop

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (3.9)

где N - предел измерения СИ

N = XВ – XН; (3.10)

XВ и XН - верхний и нижний пределы измерения СИ;

А - класс точности СИ выбирается из следующего ряда (ближайшее большее):

(1.0; 1.5; (1.6); 2.0; 2.5; (3,0); 4,0; 5.0; и 6.0)×10n;

n = 1; 0; (-1); (-2).

Предельное значение основной погрешности Dop в выражении (3.9) вычисляется следующим образом:

а) если случайная составляющая основной погрешности Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru несущественна

( Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru ) - не нормируется)

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru , (3.11)

б) если Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru существенна ( Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru - нормируется):

- при отсутствии вариации (Hо - не нормируется)

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru ; (3.12) - - при наличии вариации (Hо - нормируется)

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru (3.13)

В формулах (3.12) и (3.13) коэффициент k зависит от принятой доверительной вероятности pД. При pД = 0,96; k = 2.

Таблица 3.2

Варианты заданий к разделу 3

№ вар. P0, кг/см2 PМ, кг/см2 PБ, кг/см2 N, кг/см2
120.0 119.3; 119.7; 119.4; 119.6; 119.8 121.2; 120.8; 122.3; 121.0; 123.0 150.0
3.0 2.97; 2.89; 2.94; 2.96; 2.84 3.03; 3.01; 3.00; 3.02; 3.06 5.0
6.0 5.91; 5.93; 5.87; 5.93; 5.89 6.11; 6.09; 6.21; 6.15; 6.19 10.0
9.0 8.97; 8.79; 8.88; 8.85; 8.92 9.15; 9.07; 9.01; 9.14; 9.02 15.0
20.0 19.3; 19.7; 19.4; 19.6; 19.5 21.2; 20.8; 21.1; 21.0; 20.9 30.0
40.0 39.3; 39.0; 39.5; 38.9; 39.1 41.3; 40.9; 40.8; 41.0; 41.1 50.0
60.0 59.2; 59.4; 58.8; 58.9; 59.6 61.7; 61.5; 61.0; 60.8; 60.3
80.0 79.2; 79.6; 79.8; 78.9; 80.0 81.2; 81.0; 81.3; 80.9; 80.5
100.0 100.8; 99.7; 100.6; 99.8; 99.5 101.2; 100.5; 100.6; 100.9; 100.0 150.0
2.0 1.97; 1.89; 1.94; 1.96; 1.84 2.03; 2.01; 2.02; 2.04; 2.06 5.0

Примечания к табл. 3.1: 1. В таблице введены следующие обозначения:

P0 – действительные значения измеряемого давления; PМ и PБ – результаты измерений, полученные со стороны соответственно меньших и больших значений до значения P0; N – предел измерения СИ.

2. № варианта задания соответствует последней цифре № зачётной книжки студента.

4. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СХЕМ

СИСТЕМ АВТОМАТИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

При разработке схем систем автоматизации применяют различные средства измерения, соединяемые между собой и с объектом управле­ния по определенным схемам. Функциональные схемы отражают функци­онально- блочную структуру отдельных узлов автоматического конт­роля, сигнализации, управления и регулирования технологического процесса и определяют оснащение объекта управления приборами и средствами автоматизации. Построение функциональной схемы системы автоматизации заключается в размещении на технологической схеме и в соответствующих местах связанных между собой датчиков и вторичной аппаратуры (показывающей, регистрирующей или регулирующей).

Для изображения средств измерений и автоматизации используются услов­ные обозначения в соответствии с /4, 5, 6/ .

Основные элементы схем состоят из графических и буквенно-цифровых обозначений. Графические обозначения средств измерения представляют собой окружности или овалы, в которые вписываются буквы латинского алфавита, обозначающие измеряемые величины, функциональные признаки и функции применяемых средств.

Функциональная схема автоматизации может включать следующий набор основных элементов (см. рис. 4.1,а): технологический объект (То), устройство отбора технологического параметра (Уо), чувстви­тельный элемент (Чэ), преобразователь (Пр), вторичный измерительный прибор (Вп), устройства сигнализации (Сг), автоматический регулятор (Ар), исполнительный механизм (Им), ре­гулирующий орган (Ро). На рис.4.1,а показан полный набор элементов системы автоматического регулирования

Т
Вп
Пр
Чэ
У

           
  Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru
    Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru
 
    Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru
 

P

Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

С1
Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

а) б)

Рис. 4.1

Каждый элемент имеет свое условное обозначение в соответствии с /4/. На рис.4.1,б показан пример функциональной схемы системы измерения температуры в сепараторе С1 с показывающим и регистрирующим вто­ричным прибором (TIR), установленном в щитовом помещении (на это указывает горизонтальный диаметр в окружности). Эта схема также включает: чувствительный элемент (TE), преобразователь температу­ры (TT) в пневматический сигнал (P), а также устройство отбора температуры (сплошная линия, соединяющая C1 с TE). Цифры в нижней части окружности показывают номер данной системы (первая цифра) и номер элемента данной системы (вторая цифра), что облегчает чте­ние сложных функциональных схем систем автоматизации, в которых технические средства автоматизации изображаются на технологичес­ких схемах в любом удобном для графического исполнения схемы мес­те. В качестве примера построения функциональных схем автоматиза­ции смотри /7/ .

Варианты заданий к разделу 4

Построить функциональные схемы следующих систем:

0. Автоматического регулирования температуры продукта.

1. Автоматического регулирования давления газа в сепараторе.

2. Непрерывного регулирования уровня жидкости в емкости.

3. Позиционного регулирования уровня жидкости в емкости.

4. Автоматического регулирования расхода продукта в трубопроводе с регистрацией на щите.

5. Автоматического регулирования соотношения расходов продукта в двух трубопроводах (Q1 = f(Q2)).

6. Измерение расхода жидкости в трубопроводе расходомером перемен­ного перепада давления с показывающим прибором по месту.

7. Измерение расхода газа в трубопроводе с коррекцией по темпера­туре и давлению.

8. Измерение температуры газа с коррекцией по влажности и регист­рацией на щите.

9. Измерение давления газа в сепараторе с коррекцией по температу­ре и показывающим прибором на щите.

Примечания к разделу 4:

1. При построении функциональных схем автоматизации необходимо дать информацию о применяемых в данных схемах средствах измерения, технологических объектах и измеряе­мых, контролируемых или регулируемых параметрах.

2. При выборе вариантов задания необходимо руко­водствоваться номером своей зачетной книжки: номер варианта зада­ния соответствует последней цифре номера зачетной книжки студента.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.Рабинович С.Г. Погрешности измерений. - Л.: Энергия, 1978.- 262с.

2.ГОСТ 8.009-84. Государственная система обеспечения единства из­мерений. Нормируемые метрологические характеристики средств изме­рений.

3.ГОСТ 8.401-80. ГСИ. Классы точности средств измерений. Общие требования.

4.ГОСТ 21.404-85. Автоматизация технологических процессов. Обоз­начения условные приборов и средств автоматизации.

5.Клюев А.С. и др. Техника чтения схем автоматического управления и технологического контроля. - М.: Энергоатомиздат, 1983, с.30-49.

6.Прахова М.Ю. Основные принципы построения систем автоматическо­го управления и технологического контроля: Учебное пособие.- Уфа: Изд-во УГНТУ, 1996.- 112с.

7.Шаловников Э.А. Автоматизация процессов подготовки газа на газодобывающих предприятиях: Конспект лекций. - Уфа: Изд-во УНИ, 1983.- 51 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица П-1

Значения нормированной функции Лапласа Свойства математического ожидания и дисперсии - student2.ru

 
0,0 0,00000
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9

Примечание. Значения Ф(t) при t = 3,0 ÷ 4,5 следующие:

3,0 ………... 0,49865 3,4 ………... 0,49966 3,8 ………... 0,49993
3,1 ………... 0,49903 3,5 ………... 0,49977 3,9 ………... 0,49995
3,2 ………... 0,49931 3,6 ………... 0,49984 4,0 ………... 0,499968
3,3 ………... 0,49952 3,7 ………... 0,49989 4,5 ………... 0,499999

Таблица П-2

Значения χ2 - распределения Пирсона c2 = f (q; k)

Наши рекомендации