Теоретические сведения. При постоянном резервировании резервные элементы 1,2

При постоянном резервировании резервные элементы 1,2,.... соединены параллельно с основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается.

Вероятность отказа системы q_c(t) определяется формулой

(3.1)

где q_j(t) - вероятность отказа j - го элемента .

Вероятность безотказной работы системы

(3.2)

где Р_j(t) - вероятность безотказной работы j - го элемента.

Если Р_j(t) =Р(t), j = 0, 1, . . . , m , то

(3.3)

При экспоненциальном законе надежности отдельных элементов имеем

(3.4)

Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из последовательного соединения n элементов. Схема общего резервирования показана на рис.3.2. [2]. Основная цепь содержит n элементов. Число резервных цепей равно m, т. е. кратность резервирования равна m.

Определим количественные характеристики надежности системы с общим резервированием (резервные цепи включены постоянно).

Запишем вероятность безотказной работы j - ой цепи

(3.5)

где Р_ij(t), j=0,1,2,...m; i=1,2,3,...,n - вероятность безотказной работы элемента Э_ij.

Вероятность отказа j - ой цепи

(3.6)

Вероятность отказа системы с общим резервированием

(3.7)

Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием

(3.8)

Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую надежность, т.е.

Р_ij(t)=P_i(t) . (3.9)

Тогда

(3.10)

(3.11)

Рассмотрим экспоненциальный закон надежности, т. е.

P_i(t)=e^-it (3.12)

В этом случае формулы (3.10), (3.11) примут вид:

q_c(t)=(1-e^-0t)^m+1, (3.13)

P_c(t)=1-(1-e^-0t)^m+1, (3.14)

, (3.15)

где ₀ - интенсивность отказов цепи, состоящей из n элементов.

Частота отказов системы с о6щим резервированием

. (3.16)

Интенсивность отказов системы с общим резервированием

(3.17)

Среднее время безотказной работы резервированной системы:

, (3.18)

где Т₀ = 1/₀ - среднее время безотказной работы нерезервированной системы.

Решение типовых задач

Задача 3.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента m_t = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы m_tc, а также частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с(t) в момент времени t = 50 час в следующих случаях:

а) нерезервированной системы,

б) дублированной системы при постоянно включенном резерве.

Решение.

а)

,

где с - интенсивность отказов системы; _i - интенсивность отказов i - го элемента; n = 10

_i=1/m_ti = 1/1000=0,001; i = 1, 2, . . .,n ; =_i;

_c=n=0,001*10=0,01 1/час;

m_tc=1/_c=100 час;

f_c(t)=_c(t) P_c(t);

_c(50)=_c; P_c(t)=e^-ct;

f_c(50)=_ce^-ct=0,01*e^{-0,01*506*10-3} 1/час;

_c(50)=0,01 1/час.

б) ; m=1 ; час;

; ₀ =_c =0.01 1/час;

;

;

;

f_c(50)4.810^-3 1/час; _c(50)5.710^-3 1/час.

Задача 3.2. В системе телеуправления применено дублирование канала управления. Интенсивность отказов канала =10^-2 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы системы Р_с(t) при t=10 час, среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _с(t) системы.

Решение. В данном случае n=1; _i= ; ₀=n=;m=1. По формуле (3.14) имеем

Р_с(t)=1-(1-e^-t)²;

Р_с(10)=1-(1-e^-0,1)² .

Из приложения П.7.14 [1] получим:

e^-0,1=0,9048 .

Тогда

Р_c(10)=1-(1-0,9048)² =1-0,0952^{21-0,01=0,99 .}

Определим m_tс. Из формулы (3.4) имеем:

час.

Определим частоту отказов f_c(t). Получим:

Определим интенсивность отказов _с(t). Имеем:

3адача 3.3. Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы системы Р_с(t) = 0,9 при t =10 час, необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов.

Решение. Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и равнонадежных элементах равна:

P_c(t)=1-(1-e^-nt)²

или

P_c(t)=1-[1-Pⁿ(t)]²,

где

P(t)=e^-t .

Здесь Р(t) - вероятность безотказной работы одного элемента.

Так как должно быть

1-[1-Pⁿ(t)]²0,9,

то

.

Разложив по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего порядка малости, получим:

Учитывая, что P(t)= ехр (-t)1-t , получим:

1-t1-6,32*10^-5

или

(6,32*10^-5)/t=(6,32*10^-5)/10=6,32*10^-6 1/час.

Задачи для самостоятельного решения

3адача 3.4. Приемник состоит из трех блоков: УВЧ, УПЧ и УНЧ. Интенсивности отказов этих блоков соответственно равны: ₁= 4*10^-4 1/час; ₂= 2,5*10^-4 1/час; ₃= 3*10^-4 1/час. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы приемника при t=100 час для следующих случаев:

а) резерв отсутствует;

б) имеется общее дублирование приемника в целом.

Задача 3.5. Для изображенной на рис.4.3. [2] логической схемы системы определить P_c(t), m_tc, f_c(t), _c(t). Здесь резерв нагруженный, отказы независимы.

Задача 3.6. В радиопередатчике, состоящем из трех равнонадежных каскадов (n = 3) применено общее постоянное дублирование всего радиопередатчика. Интенсивность отказов каскада равна =5*10^-4 1/час. Определить P_c(t), m_tc, f_c(t), _c(t) радиопередатчика с дублированием.

Задача 3. 7. Для изображенной на рис.4.4. [2] логической схемы системы определить интенсивность отказов _с(t). Здесь резерв нагруженный, отказы независимы.

Задача 3.8. Радиоэлектронная аппаратура состоит из трех блоков I, II, III. Интенсивности отказов этих трех блоков соответственно равны: ₁, ₂, ₃. Требуется определить вероятность безотказной работы аппаратуры P_c(t) для следующих случаев:

а) резерв отсутствует;

б) имеется дублирование радиоэлектронной аппаратуры в целом.

Задача 3.9.Схема расчета надежности изделия показана на рис.4.5. [2]. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов изделия. Интенсивности отказов элементов имеют значения: ₁= 0,3*10^-3 1/час; ₂= 0,7*10^-3 1/час. Требуется найти вероятность безотказной работы изделия в течение времени t = 100 чаc, среднее время безотказной работы изделия, частоту отказов и интенсивность отказов в момент времени t=100 час.

Задача 3.10. В телевизионном канале связи, состоящем из приемника и передатчика, применено общее дублирование. Передатчик и приемник имеют интенсивности отказов

_п=2*10^-3 1/час, _пр=1*10^-3 1/час, соответственно. Схема канала представлена на рис.4.6. Требуется определить вероятность безотказной работы канала Р_c(t), среднее время безотказной работы m_tс, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _с(t).

Задача 3.11. Схема расчета надежности изделия приведена на рис.4.7. [2]. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов изделия. Требуется определить интенсивность отказов изделия, если интенсивности отказов элементов имеют значения ₁, ₂.

Задача 3.12. Нерезервированная система управления состоит из n = 4000 элементов. Известна требуемая вероятность безотказной работы системы Р_с(t) = 0,9 при t = 100 час. Необходимо рассчитать допустимую среднюю интенсивность отказов одного элемента, считая элементы равнонадежными, для того чтобы приближенно оценить достижение заданной вероятности безотказной работы при отсутствии профилактических осмотров в следующих случаях: а) резервирование отсутствует; б) применено общее ду6лирование.

Задача 3.13. Устройство обра6отки состоит из трех одинаковых блоков. Вероятность безотказной ра6оты устройства Р_y(t_i) в течение (0, t_i) должна быть не менее 0,9. Определить, какова должна быть вероятность безотказной работы каждого блока в течение (0, t_i ).

для случаев:

а) резерв отсутствует;

б) имеется пассивное общее резервирование с неизменной нагрузкой всего устройства в целом;

в) имеется пассивное раздельное резервирование с неизменной нагрузкой по блокам.

Задача 3.14. Вычислитель состоит из двух блоков, соединенных последовательно и характеризующихся соответственно интенсивностями отказов ₁=120,54*10^-6 1/час и ₂=185,66*10^-6 1/час. Выполнено пассивное общее резервирование с неизменной нагрузкой всей системы (блока 1 и 2) (см. рис.4.8) [2]. Требуется определить вероятность безотказной работы Р_с (t) вычислителя, среднее время безотказной работы m_tс, частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с(t) вычислителя. Определить Р_с(t) при t = 20 час.