Статистические характеристики вариационных рядов

После того как статистическая информация представлена наглядно, приступают к изучению свойств исследуемой совокупности. В первую очередь обрабатываемые данные представляют в виде сравнительно небольшого числа сводных характеристик. Эти характеристики являются функциями от исходных данных Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru и называются статистиками. Важнейшими статистическими характеристиками рядов распределений являются средние. Опять упоминаем об аналогии с числовыми характеристиками случайных величин – математическое ожидание является средним взвешенным значением CB (весами являются вероятности); дисперсия (среднее квадратичное отклонение) также является средней величиной и характеризует разброс значений CB относительно своего математического ожидания.

Средняя арифметическая Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru определяется по формуле

Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru , (1)

где n=n1+n2+....+.nк - число наблюдений, Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru - различные варианты признака Х, а n1,...nк -соответствующие частоты; Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru - относительные частоты. Средняя арифметическая интервального вариационного ряда вычисляется как средняя арифметическая соответствующего ему дискретного вариационного ряда. Для его получения интервалы заменяют их средними значениями и к ним относят соответствующие интервальные частоты.

Рассмотрим основные свойства средней арифметической.

Свойство 1. Если все варианты увеличить на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится на то же число, коротко это можно записать так: Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru .

Свойство 2. Если все варианты умножить на одно и то же число, то и средняя арифметическая умножится на это число: Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru .

Этими двумя свойствами средней арифметической иногда пользуются на практике для облегчения вычислений.

Средние величины не отражают изменчивости (или вариацию) наблюдаемых значений признака. Этой цели служат различные показатели вариации. Простейшим является упоминавшийся вариационный размах Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru . Более содержательными показателями являются те, которые определяют меру рассеяния значений признака вокруг средних величин, в частности, среднего арифметического.

Определение. Эмпирической или выборочной дисперсией S2(n) называется средняя арифметическая (взвешенная) квадратов отклонений n результатов наблюдений от их средней арифметической:

Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru

Выборочная дисперсия S2(n) имеет размерность квадрата признака, поэтому в качестве меры рассеяния удобнее брать выборочное среднее квадратическое отклонение S(n), равное корню квадратному из выборочной дисперсии.

Отметим свойства выборочной дисперсии.

Свойство 1. Если все результаты наблюдений увеличить на одно и то же число, то выборочная дисперсия не изменится.

Свойство 2. Если все результаты наблюдений умножить на одно и то же число Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru , то эмпирическая дисперсия умножится на число L2.

Свойство 3. Эмпирическую дисперсию удобно вычислять по формуле, Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru = Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru т.е. она равна среднему арифметическому квадратов вариантов минус квадрат среднего арифметического вариантов, Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru .

Пример 3. Для признака в примере 1. вычислить среднюю арифметическую Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru , выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для вычислений используем таблицу 2.

Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru

Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru

Выборочная дисперсия признака, представленного в виде интервального вариационного ряда, вычисляется для соответствующего ему дискретного вариационного ряда.

Пример 4. Для признака в примере 2 вычислить среднюю арифметическую, выборoчную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Обратимся к таблице 3 и для вычислений числовых характеристик заменим каждый интервал его средним значением. В результате получим:

Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru .

Выборочную дисперсию Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru вычислим по формуле:

Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru

Итак, Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru (117) =108,8, Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru (117) =168,76, S(117) =13.

Для сравнения изменчивости вариационных рядов, имеющих разную размерность и разные абсолютные значения вариантов, применяются относительные показатели вариации, являющиеся безразмерными величинами.

Определение. Коэффициентом вариации V называется отношение выборочного среднего квадратического отклонения S к среднему арифметическому (взвешенному) признака Х. Его обычно выражают в процентах:

Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru .

Использование коэффициента вариации имеет смысл для признака, принимающего только положительные значения. Если значения признака колеблются около нуля, т.е. Статистические характеристики вариационных рядов - student2.ru близко к нулю, то коэффициент вариации может принимать большие значения (даже равняться бесконечности) лишь за счет малости знаменателя и, таким образом, не являться показателем изменчивости.

Наши рекомендации