Уточнение корней методом хорд
Цель работы.
Целью заключается освоение методики решения нелинейных уравнений на компьютере в программе Excel.
Решение нелинейного уравнения
Найти корень нелинейного уравнения f1(x)=f2(x) на заданном отрезке [a,b] средствами Excel тремя возможными способами:
1. методом касательных, либо методом простой итерации с использованием циклических ссылок;
2. с помощью средства Подбор параметра
3. используя возможности Поиска решения при ограничениях корень>a и корень <b.
2x+x5-1=0, x (0;1]
Использование программы Excel для решения нелинейных уравнений.
Отделение корней
В общем случае отделение корней уравнения f(x)=0 базируется на известной теореме, утверждающей, что если непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, в общем случае выбирают некоторый диапазон, где могут обнаружиться корни с выбранным шагом h для обнаружения перемены знаков f(x).
При последующем уточнении корня на обнаруженном интервале не надейтесь никогда найти точное значение и добиться обращения функции в нуль при использовании калькулятора или компьютера, где сами числа представлены ограниченным числом знаков. Здесь критерием может служить приемлемая абсолютная или относительная погрешность корня. Если корень близок к нулю, то лишь относительная погрешность даст необходимое число значащих цифр. Если же он весьма велик по абсолютной величине, то критерий абсолютной погрешности часто дает совершенно излишние верные цифры. Для функций, быстро изменяющихся в окрестности корня, может быть привлечен и критерий: абсолютная величина значения функции не превышает заданной допустимой погрешности.
Уточнение корней методом хорд
В отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения, метод хорд использует пропорциональное деление интервала (2).
Рис.2. Метод хорд |
Здесь вычисляются значения функции на концах отрезка, и строится «хорда», соединяющая точки (a,f(a)) и (b,f(b)). Точка пересечения ее с осью абсцисс
принимается за очередное приближение к корню. Анализируя знак f(z) в сопоставлении со знаком f(x) на концах отрезка, сужаем интервал до [a,z] или [z,b] и продолжаем процесс построения хорд до тех пор, пока разница между очередными приближениями не окажется достаточно малой (в пределах допустимой погрешности) |Zn-Zn-1|<.
Можно доказать, что истинная погрешность найденного приближения:
,
где X* - корень уравнения, Zn и Zn+1 – очередные приближения, m и M – наименьшее и наибольшее значения f(x) на интервале [a,b].
Алгоритм метода хорд
|