Уточнение корней методом простых итераций

1) Исходное уравнение преобразуем к виду x = φ(х):

lnx-2+x=0 Þ C(lnx-2+x) + x = x ,

т.е. φ(х) = C(lnx-2+x)+x;

2) Определим значение С, обеспечивающее сходимость вычислительного процесса метода простых итераций. Как видно из графика, полученного на этапе отделения корней, функция F(x) в точке пересечения с осью ОХ, т.е. в окрестности искомого корня уравнения, имеет нарастающий характер. Следовательно, параметр С должен находиться внутри промежутка Уточнение корней методом простых итераций - student2.ru .

Так как Уточнение корней методом простых итераций - student2.ru , то Уточнение корней методом простых итераций - student2.ru . Вычислим эту величину для двух разных значений х=1,55 и х=1,90, полученных на этапе отделения корней, и обозначим полученные значения С1 и С2:

D15Вычисление константы С

D16C1= E16=-2*A9/(1+A9) D17C2 E17=-2*A10/(1+A10)

Окончательное значение С определим как середину меньшего по длине интервала (С1, 0) или (С2, 0). В нашем случае это будет интервал (С1, 0): D18C= E18= E16/2 .

3) Вносим заголовок таблицы метода простых итераций: D20X D21j(x) D22R D23N. Символ j можно получить по цепочке «Вставка→Символ».

4) Сформируем таблицу, реализующую вычислительный процесс метода простых итераций.

В качестве начального приближения возьмем одну из границ промежутка, найденного на этапе отделения корней, например, x0=1,90. В первую строку таблицы внесем:

D21=A10 E21=$E$18*(LN(D21)-2+D21)+D21 F21=ABS(D21-E21) G210

В клетке D22 реализуем вычислительную формулу метода простых итераций xk=φ(xk-1): D22=E21 . Скопируем клетку E21 в E22.

Выполним вычисление ½xk - xk-1½: F22=ABS(D22-D21) .

Скопируем диапазон клеток D22:G22 на три-четыре или более строк ниже, пока в столбце F (R - ошибка, погрешность) не появится число, меньшее 0,0001. Соответствующее ему значение х (в нашем примере значение клетки D24) и будет решением задачи.

Окончательный вид EXCEL-таблицы приведен ниже:

  A B C D E F G
  Решение алгебраического уравнения lnx-2+x=0    
  Иванов И.И., группа СВ-1ХХ      
Отделение корней уравнения      
Хn= 0,5 Хk= 7,5 H= 0,35  
X F(x)          
0,50 -2,193147          
0,85 -1,312519          
1,20 -0,617678          
1,55 -0,011745          
1,90 0,541854          
2,25 1,060930          
2,60 1,555511          
2,95 2,031805          
3,30 2,493922          
3,65 2,944727   Вычисление константы C  
4,00 3,386294   С1= -1,215686    
4,35 3,820176   С2= -1,310345    
4,70 4,247563   С= -0,607843    
5,05 4,669388   Уточнение корня    
5,40 5,086399   x φ(x) R N
5,75 5,499200   1,900000 1,570638 0,3293622
6,10 5,908289   1,570638 1,557193 0,0134458
6,45 6,314080   1,557193 1,557146 0,0000469
6,80 6,716923   1,557146 1,557146 0,0000001
7,15 7,117112          
7,50 7,514903   Результат: х= 1,557146  

Результат решения:

- исходное уравнение lnx–2+x=0 преобразовано к виду x = С(lnx–2+x) + x , где С=-0,607843 обеспечивает сходимость вычислительного процесса;

- Fпри заданной точности ε=0,0001 определен корень исходного уравнения х=1,557146;

- это значение достигнуто на 3-й итерации.

Наши рекомендации