Дифференциальные уравнения колебаний

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

· Уравнение гармонических колебаний

,

где – смещение точки от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, - фаза колебаний, w₀– круговая (циклическая частота), t – время, – начальная фаза колебаний.

,

где – частота колебаний, – период колебаний.

· Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

,

- амплитуда скорости (максимальное значение);

,

- амплитуда ускорения (максимальное значение).

При графики зависимостей представлены на рис. 1(а,б,в), соответственно.

· Возвращающая сила

,

где – коэффициент упругой (квазиупругой) силы, m – масса материальной точки;

- амплитуда силы (максимальное значение).

· Кинетическая энергия колеблющейся точки

-амплитуда кинетической энергии (максимальное значение).

а а

б б

в в

Рис. 1 Рис. 2

· Потенциальная энергия колеблющейся точки

-амплитуда потенциальной энергии (максимальное значение).

При графики зависимостей кинетической и потенциальной энергии от времени представлены на рис. 2а и 2б, соответственно.

· Полная энергия при гармонических колебаниях (рис. 2в)

.

· Уравнения гармонических колебаний могут быть заданы функциями синуса или косинуса. В таблице 1 даны значения скорости, ускорения, силы и энергии в обоих случаях.

Таблица 1

· Периоды колебаний:

– математический маятник ( – длина нити);

– пружинный маятник (m – масса тела, – коэффициент жесткости);

– физический маятник ( – момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса, определяется по теореме Штейнера, m – масса тела, d – расстояние от точки подвеса до центра масс).

Пример: Однородный диск радиусом колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии от центра диска. Определить период колебаний диска относительно этой оси (рис. 3).

Период определяется по формуле , где (нашли по теореме Штейнера). Тогда

Рис. 3

· Уравнение затухающих колебаний (рис. 4)

,

где – амплитуда колебаний в начальный момент времени, – коэффициент затухания, - зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени, -частота затухающих колебаний, - частота собственных колебаний, - период затухающих колебаний.

· Уравнение вынужденных колебаний, совершаемых под действием периодически изменяющейся силы

, где

- амплитуда вынужденных колебаний;

- начальная фаза вынужденных колебаний;

и - частоты собственных и вынужденных колебаний .

· Резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при частоте, близкой к частоте собственных колебаний.

· Амплитуда при резонансе

.

· Резонансная частота

.

Дифференциальные уравнения колебаний

- гармонические,

- затухающие,

- вынужденные.

· Уравнение колебания, полученного при сложении двух колебаний одинаковой частоты и одного направления, амплитуды колебаний которых и , а начальные фазы и ,

, где

-

амплитуда результирующего колебания, - разность фаз слагаемых колебаний; начальная фаза результирующего колебания определяется формулой

.

· Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно­ перпенди­кулярных колебаниях с одинаковыми частотами

:

а) если , то - уравнение прямой,

б) если , то - уравнение прямой,

в) если , то - уравнение эллипса, приведённого к осям,

г) если и , то - уравнение окружности, где - радиус окружности.

МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

· Длина волны, т.е расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе

,

где - скорость волны, - период, - частота.

· Уравнение бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси в среде, не поглощающей энергию,

или

, где

- амплитуда волны, - циклическая частота, -фаза волны, - начальная фаза, - волновое число.

Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Волна называется поперечной, если частицы колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Поперечные волны могут возникать только в такой среде, которая обладает упругостью формы, т.е. способна сопротивляться деформации сдвига. Этим свойством обладают только твердые тела. Продольные волны могут распространяться как в твердых телах, так и в жидких и газообразных средах.