Оминация «искатели». 6- 8 класс.

Задача 1. Доктор Айболит раздал четырём заболевшим зверям 2006 чудодейственных таблеток. Носорог получил на одну больше, чем крокодил, бегемот на одну больше, чем носорог, а слон - на одну больше, чем бегемот. Сколько таблеток придётся съесть слону?

Всего: 3 балла.

Задача 2. Разрежьте нарисованную фигуру на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.

Всего: 4 балла.

Задача 3. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире N 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Всего: 5 баллов.

Задача 4. Таня стоит на берегу речки. У неё есть два глиняных кувшина: один - на 5 литров, а про второй Таня помнит лишь то, что он вмещает то ли 3, то ли 4 литра. Помогите Тане определить ёмкость второго кувшина. (Заглядывая в кувшин, нельзя понять, сколько в нём воды.)

Всего: 5 баллов.

Задача 5. Дед звал внука к себе в деревню: "Вот посмотришь, какой я необыкновенный сад посадил! У меня там растёт четыре груши, а ещё есть яблони, причём они посажены так, что на расстоянии 10 метров от каждой яблони растёт ровно две груши". - "Ну и что тут интересного, - ответил внук. - У тебя всего две яблони". "А вот и не угадал, - улыбнулся дед. - Яблонь у меня в саду больше, чем груш". Нарисуйте, как могли расти яблони и груши в саду у деда. Постарайтесь разместить на рисунке как можно больше яблонь, не нарушая условий. Если Вы думаете, что разместили максимально возможное число яблонь, попробуйте объяснить, почему это так.

Всего: 9 баллов.

Задача 6. Пять футбольных команд провели турнир - каждая команда сыграла с каждой по разу. За победу начислялось 3 очка, за ничью - 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Четыре команды набрали соответственно 1, 2, 5 и 7 очков. А сколько очков набрала пятая команда?

Всего: 8 баллов.

Задача 7. Точка В лежит на отрезке АС, причем AB = 2 см, BC = 1 см. На прямой АВ укажите все такие точки М, для которых AM + BM = CM.

Всего: 5 баллов.

Задача 8. Женя и Антон учатся в одном классе. У Антона одноклассников вчетверо больше, чем одноклассниц. А у Жени одноклассниц на 17 меньше, чем одноклассников. Кто Женя: девочка или мальчик?Всего: 6 баллов.

Задача 9. Учительница написала на доске три числа, отличные от нуля, и велела Диме одно из них уменьшить на треть, другое увеличить на четверть, а третье уменьшить на одну пятую и результаты записать в тетради. Оказалось, что в тетради Дима записал те же числа, что и на доске, но в другом порядке. Докажите, что Дима ошибся. 5 баллов.

Задача 10. В архипелаге каждый остров соединен мостом ровно с семью другими. Сколько в этом архипелаге островов, если мостов - 84?

Всего: 5 баллов.

Задача 11. Найдите x + y, если x3 + y3 = 9, а x2y + xy2 = 6.

Всего: 5 баллов.

Задача 12.В треугольнике АВС медиана ВЕ перпендикулярна биссектрисе AD. Найдите длину АВ, если АС = 12.

Всего: 5 баллов.

Задача 13.У Васи есть карточки с цифрами 1, 2, 3 и 4 – по две с каждой цифрой. Он хочет сложить из них число так, чтобы между двумя единицами была одна цифра, между двойками – две цифры, между тройками – три, а между четверками – четыре. Укажите какое-нибудь число, которое может получить Вася.

Всего: 5 баллов.

Задача 14.В некоторых клетках таблицы 100 х 100 стоят крестики. Каждый крестик является единственным либо в строке, либо в столбце. Какое наибольшее количество крестиков может стоять в таблице?

Всего: 5 баллов.

Задача 15.Решая задачу: "Какое значение принимает выражение x2000 + x1999 + x1998 + 1000x1000 + ... + 1000x999 + 1000x998 + 2000x3 + 2000x2 + 2000x + 3000 (x - действительное число), если x2 + x + 1 = 0? ", Вася получил ответ 3000. Прав ли Вася? Ответ обосновать.

Всего: 5 баллов.

Задача 16.Дано число: 123456789101112... . Какая цифра стоит на 2000-м месте?

Всего: 7 баллов.

Задача 17.Докажите, что среди чисел вида 19991999...199900...0 найдется хотя бы одно, которое делится на 2001.

Всего: 3 балла.

Задача 18.Тридцать студентов с пяти курсов придумали 40 задач для олимпиады, причем однокурсники - одинаковое количество задач, а студенты с разных курсов - разное. Сколько студентов придумали по одной задаче?

Всего: 5 баллов.

Задача 19.Назовем натуральное число "замечательным", если оно - самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Сколько существует трехзначных замечательных чисел?

Всего: 5 баллов.

Задача 20.На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения: y2 - |y| = x2 - |x|.

Всего: 5 баллов.

Задача №21.На коробке лежит папироса (рис. 1). Она дымится с обоих концов. Но дым, выходящий через мундштук, опускается вниз, между тем как с другого конца он вьётся вверх. Почему? Ведь, казалось бы, с той и с другой стороны выделяется один и тот же дым. Дать ответ с использованием медицинской точки зрения на рассматриваемый процесс горения.

Рис.1. Почему дым с одного конца папиросы поднимается вверх, а с другого — опускается вниз? Всего: 5 баллов.

Задача №22.Из тонкой папиросной бумаги вырежьте прямоугольник. Перегните его по средним линиям и снова расправьте: вы будете знать, где центр тяжести вашей фигуры. Положите теперь бумажку на острие торчащей иглы так, чтобы игла подпирала её как раз в этой точке.

Бумажка останется в равновесии: она подпёрта в центре тяжести. Но от малейшего дуновения бумажка начнёт вращаться на острие. Пока приборчик не обнаруживает ничего таинственного. Теперь приблизите к нему руку, как показано на рис. 1, только делайте это осторожно, чтобы бумажка не была сметена током воздуха, и вы увидите странную вещь: она начинает вращаться, сначала медленно, потом всё быстрее. Отодвиньте руку — вра­щение прекратится. Приблизите — опять начнётся. Это загадочное вращение одно время — в 70-х годах XIX века — давало многим повод думать, что тело наше обладает какими-то сверхъестественными свойствами. Любители мистических явлений находили в этом опыте подтверждение своим туманным учениям, об исходящей из человеческого тела таинственной силе. Между тем причина вполне естественна и очень проста. Как можно объяснить это явление? Всего: 10 баллов.

Задача №23. О пирамиде Хеопса. У специалистов вызвало удивление, что основание пирамиды — 4,5 га — имеет абсолютно ровную горизонтальную поверхность. Как древние египтяне, не имея современных точных приборов и способов выравнивания поверхностей, могли хорошо выполнить эту работу?

Всего: 10 баллов.