Формула полной вероятности

ФОРМУЛА БАЙЕСА

1) В первом ящике 10 деталей, из них 8 стандартных. Во втором – 6 деталей, из них 5 стандартных. Из второго ящика переложили в первый одну деталь. Затем из второго ящика извлекли еще одну деталь. Найти вероятность, что она оказалась нестандартная.

2) Перед посевом 95% семян обрабатываются специальным раствором. Всхожесть семян после обработки – 99%, необработанных – 85%. Найти вероятность, что случайно взятое семя взойдет.

3) Два предприятия выпускают однотипные изделия, причем второе – 55% всех изделий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием равна 0,1, вторым – 0,15. Найти вероятность, что взятое наугад изделие окажется нестандартным.

4) Покупатель с равной вероятностью посещает каждый из трех магазинов. Вероятность того, что покупатель купит товар в первом магазине, равна 0,4, во втором – 0,6, в третьем – 0,8. Найти вероятность, что покупатель купит товар в каком-то магазине.

5) Имеется три ящика. В первом – 3 белых и 2 черных шара, во втором и третьем – по 4 белых и 3 черных шара. Из случайно выбранного ящика извлекается шар. Он оказался белым. Найти вероятность, что шар взят из третьего ящика.

6) Из пяти винтовок, из которых 3 снайперские и 2 обычные, наугад выбирается одна, и из нее производится выстрел. Вероятность попадания из снайперской винтовки – 0,95, из обычной – 0,7. Найти вероятность попадания в мишень.

7) В районе 20 человек обучаются в институте, из них шесть – мехмате, десять – на экономфаке, четыре – на юрфаке. Вероятность успешно сдать все экзамены на сессии для студентов мехмата равна 0,6, экономфака – 0,76, юрфака – 0,8. Найти вероятность, что наугад взятый студент успешно сдаст все экзамены.

8) Для посева заготовлены семена 4 сортов пшеницы. Причем 20% всех семян 1-го сорта, 30% - 2-го сорта, 10% - 3-го сорта, 40% - 4-го сорта. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, для 1-го сорта равна 0,5, для 2-го – 0,3, для 3-го – 0,2, для 4-го – 0,1. Найти вероятность, что наугад взятое зерно даст колос.

9) В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 12 новых и 8 игранных. Из ящика наугад извлекают мяч для игры. После игры мяч возвращают обратно в ящик. После этого из ящика вынимают еще мяч для следующей игры. Найти вероятность, что мяч оказались неигранным.

10) Две машинистки печатали рукопись, заменяя друг друга. В итоге первая напечатала 1/3 всей рукописи, а вторая – остальное. Первая машинистка делает ошибки с вероятностью 0,15, вторая – 0,1. При проверке обнаружена ошибка. Найти вероятность, что ее допустила первая машинистка.

11) На предприятии работают 10 рабочих шестого разряда, 15 – пятого разряда, 5 – четвертого разряда. Вероятность, что изделие, изготовленное рабочим соответствующего разряда, будет одобрено ОТК, равна 0,95; 0,9; 0,8. Найти вероятность, что изделие, проверенное ОТК, будет одобрено.

12) В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во второй. Вероятность, что продукция окажется стандартной для первой бригады, равна 0,7, для второй – 0,8. Найти вероятность, что взятая наугад единица продукции будет стандартной.

13) Из трамвайного парка в случайном порядке выходят четыре трамвая маршрута №1 и восемь трамваев маршрута №2. Найти вероятность того, что второй по порядку вышедший на линию трамвай будет иметь №1.

14) В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен: 3 студента подготовлены отлично, 4 студента – хорошо, 2 студента – посредственно, 1 студент – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный – на 16, посредственно подготовленный – на 10, плохо подготовленный – на 5. Найти вероятность того, что вызванный наугад студент ответит на произвольно заданный вопрос.

15) Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а материал второго цеха – 20% брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефектов. Найти вероятность, что она поступила из первого цеха.

16) В сентябре вероятность дождливого дня равна 0,3. Команда выигрывает в футбол в ясный день с вероятностью 0,8, а в дождливый с вероятностью 0,4. Найти вероятность, что команда выиграла некоторую игру.

17) В первом ящике содержится 20 деталей, из них 10 стандартные, во втором - 30 деталей, из них 25 стандартные, в третьем - 10 деталей, из них 8 стандартные. Из случайно взятого ящика наугад взята одна деталь. Найти вероятность, что она оказалась стандартной.

18) Студент в поисках книги посещает 3 библиотеки. Вероятности того, что она есть в библиотеках, равны 0,4; 0,5; 0,1, а того, что она выдана или нет – равновероятно. Найти вероятность, что нужная книга найдена.

19) Пассажир за получением билета может обратиться в одну из касс. Вероятность обращения в первую кассу равна 0,4, во вторую – 0,35, в третью – 0,25. Вероятность, что к приходу пассажира в кассе все билеты будут проданы, равна для первой кассы 0,3, для второй – 0,4, для третьей – 0,6. Найти вероятность, что пассажир купит билет.

20) На склад поступила однотипная продукция с трех фабрик. Объемы поставок относятся соответственно как 1:2:7. Нестандартных изделий среди продукции первой фабрики – 3%, второй – 2%, третьей – 1%. Наугад взятое изделие со склада оказалось нестандартным. Найти вероятность, что оно произведено первой фабрикой.

21) В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,8; для велосипедиста – 0,7; для бегуна – 0,9. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит квалификационную норму.

22) Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата в три раза больше производительности второго. Вероятность изготовить стандартную деталь на первом автомате равна 0,95, а на втором – 0,8. Найти вероятность, что взятая наугад деталь будет стандартной.

23) Семена для посева поступают из трех хозяйств. Причем первое и второе хозяйства присылают по 40% всех семян. Всхожесть семян из первого хозяйства равна 90%, второго – 85%, третьего – 95%. Найти вероятность, что наугад взятое семя не взойдет.

24) На сборку поступило 50 деталей от первого станка, 100 - от второго и 150 – от третьего. Первый станок дает 2%, второй – 1% и третий 2% брака. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется не бракованной.

25) Перед посевом 90% всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения вредителями для растений из обработанных семян равна 0,08, для растений из необработанных семян – 0,4. Взятое наугад растение оказалось пораженным. Найти вероятность, что оно выращено из обработанных семян.

26) В торговую фирму поступают телевизоры от трех фирм изготовителей в соотношении 2:5:3. Телевизоры, поступающие от первой фирмы, требуют ремонта в течение гарантийного срока в 15% случаев, от второй и третьей – соответственно в 8% и 6% случаев. Найти вероятность, что проданный телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока.

27) Стрелковое отделение получило 10 винтовок, из которых 8 пристрелянных, а две нет. Вероятность попадания из пристрелянной винтовки равна 0,6, а из не пристрелянной – 0,4. Найти вероятность, что стрелок попадет в цель из наугад взятой винтовки.

28) Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса – 0,13. Вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Найти вероятность, что случайно выбранный клиент банка не вернет кредит.

29) У рыбака имеется 2 места ловли рыбы, которые он посещает с одинаковой вероятностью. На первом месте рыба клюет с вероятностью 0,6, на втором – с вероятностью 0,7. Рыбак, выйдя на ловлю в одно из мест, закинул удочку. Найти вероятность, что рыба клюнет.

30) Для проверки результатов назначена группа экспертов, состоящая из трех подгрупп. В первой подгруппе – 2 человека, во второй – 5 и в третьей – 3. Эксперты первой подгруппы принимают верное решение с вероятностью 0,7, второй – 0,8 и третьей – 0,6. Наугад вызванный эксперт принял верное решение. Найти вероятность, что принимал решение эксперт из первой подгруппы.

ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ.