Полуторалинейные эрмитовы формы

Def: Полуторалинейная форма В(х, у) называется эрмитовой, если "x, yÎV: .

Мы уже отмечали: "В(х, у) – полуторалинейные формы $! А – линейный оператор такой, что В(х, у) = (Ах, у).

Тº. Для того, чтобы полуторалинейная форма В(х, у) была эрмитовой необходимо и

достаточно, чтобы оператор А (В(х, у) = (Ах, у)) был эрмитовым.

◀ Достаточность: Пусть А – эрмитов, т.е. А = А^* Þ В(х, у) = (Ах, у) = (х, Ау) = =

, т.е. форма В(х, у) – эрмитова.

Необходимость: Пусть форма эрмитова Þ (Ах, у) = В(х, у) = = = (х, Ау), т.е.

А – эрмитов ▶

Тº. Для того, чтобы форма В(х, у) была эрмитовой необходимо и достаточно, чтобы

В(х, х) была вещественной "хÎV.

◀ В(х, у) – эрмитова Û А – эрмитов. А – эрмитов Û А(х, у)ÎR ▶

предыдущая доказано ранее

теорема

Квадратичные формы в унитарном пространстве

Def: Квадратичной формой называют В(х, х), соответствующую полуторалинейной форме В(х, у).

Тº. Пусть В(х, у) – эрмитова форма в n-мерном унитарном пространстве V. Тогда в V

существует ортонормированный базис {e_k} и существуют вещественные числа λ_k,

что для "хÎV в базисе {e_k}:

◀ В(х, у) – эрмитова Þ В(х, у) = (Aх, у), где А – эрмитов оператор. А – эрмитов Þ ${e_k} – собственный ортонормированный базис и λ_k – собственные числа оператора А

; .

Тогда: ▶

И еще одна теорема: о приведении пары квадратичных форм к каноническому виду:

Тº. Пусть А(х, у) и В(х, у) – эрмитовы формы в линейном пространстве V и, кроме

того, "хÎV, х ¹ q, В(х, у) > 0. Тогда в V существует базис {e_k}, в котором:

.

◀ В(х, у) – эрмитова, В(х, у) > 0, "хÎV, х ¹ q. Из этих условий: В линейном пространстве V можно ввести скалярное произведение векторов х и у по правилу: (х, у) = В(х, у).

После введения скалярного произведения пространство V станет унитарным и в нем, согласно предыдущей теореме, существует ортонормированный базис {e_k} и числа λ_k, что в этом базисе .

С другой стороны, так как базис ортонормированный, то и

В(х, х) = (х, х), т.е. В(х, х) = ▶

Унитарные и нормальные операторы

Унитарные операторы

Def: Линейный оператор UÎL(V, V) называется унитарным, если

"х, yÎV (Ux, Uy) = = (x, y) .

1° Из условия унитарности: ||Ux|| = ||x||, ||U|| = 1.

2° Если λ – собственное значение унитарного оператора, то | λ | =1.

◀ Пусть е – собственный вектор с собственными значениями λ и ||x|| = 1. Тогда

| λ | =| λ | || e|| = ||le|| = ||Ue|| = || e|| =1 ▶

Тº. Чтобы линейный оператор UÎL(V, V) был унитарным необходимо и достаточно,

чтобы U^* = U^–1.

◀ Необходимость: Пусть U – унитарный Þ (Ux, Uy) = (x, y) Þ (x, U^*Uy) = (x, y) Þ

Þ (x, (U^*U - Е)у) = 0 Þ U^*Uy = Еу Þ U^*U = Е Þ U^* = U^-1.

Достаточность: Пусть U^* = U^-1 Þ U^*U = Е Þ (х, у) = (х, U^*Uу) = (Ux, Uy), т.е. U – унитарный ▶

Примечание: U^* = U^-1 Û U^*U = UU^* = Е Û (Ux, Uy) = (x, y).

В примечании приведено две эквивалентные формы записи условия унитарности оператора.

Нетрудно убедиться в том, что произведение унитарных операторов – унитарный оператор.

Def: Оператор l называется унитарно подобным оператору L, если существует унитарный оператор U такой, что l = U^*LU,

Напомним, что – называется коммутатором операторов А и В. При этом, если = 0, то А и В коммутирующие операторы.

Обозначим j = U^*y.

Для унитарно подобных операторов выполняются следующие соотношения:

1) [L, M] = N Þ [l, m] = n; 2) L = L^* Þ l = l^*;

3) Ly = ly Þ lj = lj; 4) (Ly₁, y₂) Þ (lj₁, j₂).

Нормальные операторы

Def: Линейный оператор А называется нормальным, если А^*А = АА^*.

1° Из определения: любой унитарный оператор является нормальным.

Тº. Пусть А – нормальный оператор. Тогда А и А^* имеют общий собственный

вектор е, такой, что ||e|| = 1, Ae = le, A^*e = .

◀ Пусть λ – собств. ззначение оператора А. Обозначим R_λ – собственное подпространство оператора А, т.е. множество хÎV, Ах = lх.

Пусть хÎR_λ, Ах = lх. Тогда А(A^*х) = (АA^*)х = (A^*А)х = A^*(Ах) = A^*(lх) = l(A^*х).

Получили А(A^*х) = l(A^*х), A^*хÎR_λ. Итак, хÎR_λ Þ A^*хÎR_λ, т.е. оператор A^* действуют из R_λ в R_λ. Следовательно $еÎR_λ, ||e|| = 1, такой, что A^*e = me (собственный вектор А^*), но еÎR_λ (собственный вектор А); Ах = le; A^*e = me. При этом l = l(e, e) = (le, e) = (Ae, e) = (e, A^*e) = (e, me) = (e, e) = ▶

Тº. Пусть А – нормальный оператор. Тогда существует ортонормированный базис

{e_k}, состоящий из собственных векторов А и А^*.

◀ 1) по предыдущей теореме $е₁ÎV, ||e₁|| = 1 и являющийся общим собственным вектором операторов А и А^* с собственными значениями l₁, соответственно.

Пусть V₁ = ℒ^{^}(e₁) Þ V = ℒ(e₁) ÅV₁. Это значит, что если xÎV₁ Þ x^e₁.

xÎV₁ Þ (Ax, e₁) = (x, A^*e₁) = (x, e₁) = l₁(x, e₁) = 0;

(A^*x, e₁) = (x, Ae₁) = (x, l₁e₁) = (x, e₁) = 0, т.е. Ax, A^*xÎV₁.

Следовательно операторы А и А^* действуют в V₁.

2) Тогда А и А^* имеют в V₁ общий собственный вектор е₂ (е₂ÎV₁, е₂^е₁, ||e₂|| = 1) с собственными значениями l₂, соответственно. Пусть V₂ = ℒ^{^}(e₁, e₂) Þ V = ℒ(e₁, e₂) ÅV₂, Это значит, что если xÎV₂, то х^е₁, х^е₂.

xÎV₂ Þ (Ax, e₁) = (x, A^*e₁) = (x, e₁) = l₁(x, e₁) = 0;

(Ax, e₂) = (x, A^*e₂) = (x, e₂) = l₂(x, e₂) = 0;

(A^*x, e₁) = (x, Ae₁) = (x, l₁e₁) = (x, e₁) = 0;

(A^*x, e₂) = (x, Ae₂) = (x, l₂e₂) = (x, e₂) = 0,

т.е. Ax, A^*xÎV₂.

Следовательно операторы А и А^* действуют в V₂.

3) ….

Продолжая приведенные рассуждения мы построим ортонормированный базис {e_k} из собственных векторов общих для А и А^* ▶

Следствие 1: Для нормального оператора А существует базис в котором А имеет

диагональную матрицу.

Следствие 2: Унитарный оператор имеет полную ортонормированную систему

собственных векторов.

И, наконец:

Тº. Если оператор АÎL(V, V) имеет ортонормированный базис из собственных

векторов, то этот оператор – нормальный. Доказать самостоятельно.