Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм.

291. Квадратичные формы и их матрицы.

Квадратичной формой n действительных переменных Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru называется выражение

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru (1)

где вещественные числа Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru называются коэффициентами квадратичной формы.

Квадратичную форму (1) всегда можно представить так, чтобы коэффициенты при Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru и Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru были равны между собой. Действительно, имеем

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru .

Поэтому в дальнейшем будем считать, что в квадратичной форме (1)

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru . (2)

Из коэффициентов квадратичной формы составим симметрическую матрицу

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru , (3)

которую назовем матрицей квадратичной формы.

Обратно, всякой симметрической матрице (3) соответствует единственная квадратичная форма (1) с точностью до обозначения переменных Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru .

Рангом r квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма n переменных (1) называется невырожденной, если ее матрица А – невырождена, т.е. Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru , и вырожденной, если Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru .

Запишем квадратичную форму в матричном виде. Пусть Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru – столбец, тогда Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru – строка. Имеем

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru , т.е. Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru (1΄)

В квадратичной форме (1΄) перейдем к новым переменным Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru по формулам

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru

или в матричной форме

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru , (4)

где Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru .

Тогда получим квадратичную форму Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru n переменных Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru с некоторой матрицей В. В этом случае говорят, что квадратичная форма Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru переводится в квадратичную форму Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru линейным однородным преобразованием (4).

Две квадратичные формы называют конгруэнтными, если существует невырожденное линейное однородное преобразование, переводящее одну из них в другую.

Определим вид матрицы В квадратичной формы Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru , в которую переходит квадратичная форма Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru при преобразовании (4). Подставляя (4) в (1’), получим

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru .

Так как

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru ,

то В – симметрическая матрица. Значит, Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru является матрицей квадратичной формы Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru .

292. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

10. Канонические и нормальные квадратичные формы. Квадратичная форма Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru называется канонической, если она не содержит произведений различных переменных, т.е. имеет вид

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru , (1)

где Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru .

Каноническая квадратичная форма называется нормальной,
если Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru , т.е. отличные от нуля коэффициенты при квадратах переменных равны +1 или –1.

Например, квадратичная форма Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru , для которой Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru , имеет канонический вид; квадратичная форма Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru имеет нормальный вид, так как Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru , Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru .

Теорема 1. Любая квадратичная форма

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru (2)

невырожденным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.

Следствие 1. Любую квадратичную форму (2) линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду.

30. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Покажем, что квадратичную форму (2) можно привести к каноническому виду.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду можно осуществить с помощью преобразования

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru , (14)

где в (14) Т – матрица, приводящая матрицу А квадратичной формы к диагональному виду; Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru - векторы размерности n.

Столбцами матрицы Т служат ортонормированные собственные векторы матрицы А.

Отметим также, что в этом случае преобразование Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru превращается в преобразование Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru и отпадает необходимость находить обратную матрицу Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru .

40.Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду невырожденным преобразованием.

293. Знакоопределённые квадратичные формы.

20. Знакоопределенные квадратичные формы.Квадратичная форма (2) называется положительно определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов, т.е.

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru ,

где

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru . (6)

Утверждение 1. Квадратичная форма (2) является положительно определенной тогда и только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой системе значений переменных Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru .

Главными минорами квадратичной формы (2) называют миноры порядка Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru ее матрицы А, расположенные в левом верхнем углу, т.е. числа

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. - student2.ru . (7)

Квадратичная форма (2) называется отрицательно определенной, если она является невырожденной и приводится к нормальному виду, содержащему только отрицательные квадраты всех переменных.

Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы называют знакоопределенными квадратичными формами.

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квадратов переменных одного знака, называют полуопределенными (соответственно неотрицательными, неположительными).

Неопределенными называют квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные так и отрицательные квадраты переменных.

294. Условия знакоопределённости квадратичных форм.

Теорема 2 (критерий Сильвестра). Квадратичная форма (2) является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры (7) положительны.

Наши рекомендации