Эрмитовы (самосопряженные) операторы

Def: Оператор "АÎL(V, V) действующий в унитарном пространстве называется эрмитовым (самосопряженным) оператором, если А^*=А.

Примечание: в евклидовом пространстве такой оператор называется самосопряженным.

Пусть А – произвольный линейный опреатор из L(V, V). Введем операторы А_R и А_I по правилу А_R = ; А_I = , тогда А = А_R + iА_I и кроме того:

а) (А_Rx, y) = ( x, y) = (x, ( )^*y) = (x, y) = (x, A_Ry);

б) (А_Ix, y) = (( )x, y) = (x, ( )^*y) = (x, y) = (x, A_Iy);

т.е . А_R и А_I эрмитовы.

Отсюда :

Т°. (о специальном представлении линейного оператора) "AÎL(V, V)

существуют эрмитовы операторы А_R и А_I такие, что А = А_R + iА_I (при

этом операторы А_R и А_I называются вещественной и мнимой частью

оператора А)

Def: Операторы A, BÎL(V, V) называются коммутирующими операторами если АВ = ВА.

Оператор называется коммутатором операторов А и В, и при этом – это необходимое и достаточное условие коммутируемости операторов А и В.

Т°. Произведение эрмитовых операторов А и В будет эрмитовым оператором тогда

и только тогда когда операторы А и В коммутируют (т. е. АВ = ВА).

◀ Так как операторы А и В эрмитовы, то:

(АВ)^* = В^*А^* = ВА (ф)

тогда:

а) Если АВ = ВА, то из (ф) (АВ)^*= АВ, т. е. оператор АВ – эрмитов.

б) Если АВ эрмитов, то (АВ)^*= АВ и из (ф) АВ = ВА т.е. операторы коммутируют ▶

Т°. Если А – эрмитов оператор, то "xÎV; (Ax, x)ÎR (здесь R - множество вещественных чисел).

◀ из свойств скалярного произведения (Ах, х) = (х, Ах) из эрмитовости оператора. Тогда , т.е. (Ax, x)ÎR ▶

Т°. Собственные числа эрмитового оператора вещественны.

◀ Пусть $xÎV, х ¹ 0 и $lÎС такие, что Ах = λх. Тогда:

(х, х) ³ 0, l – вещественно ▶

Т°. Собственные векторы эрмитового оператора, отвечающие различным

собственным значениям – ортогональны.

◀ Пусть Ах₁ = λ₁х₁, Ах₂ = λ₂х₂ и .

Тогда (Ах₁, х₂) = (λ₁х₁, х₂) = λ₁(х₁, х₂) равны как эрмитовы (х₁, Ах₂) = (х₁, λ₂х₂) = (х₁, х₂) = = λ₂(х₁, х₂) и получено (λ₁ – λ₂)(х₁, х₂) = 0 Þ (х₁, х₂) = 0 ▶

Норма оператора

Def: Нормой линейного оператора AÎL(V, V) называется число ||A|| определяемое равенством ||A|| = .

Из определения нормы линейного оператора возникает очевидное и очень полезное неравенство ||A|| £ ||A||×||х|| .

Т°. Для эрмитового оператора А: ||A|| = .

◀ Обозначим m = .

1) Вспомним неравенство Коши-Буняковского (х, у)²£ (х, х)(у, у) запишем |(х,у)|£ ||x||×||y|| Þ

Þ |(Aх, x)| £ ||Ax||×||x|| £ ||Ax||×||x||×||x|| = ||A||×||x||², т.е. |(Aх, x)| £ ||A||×||x||² и пусть ||x|| = 1.

|(Aх, x)| £ ||A||

т.е. m £ ||A|| (*)

2) Отметим: |(Az, z)| £ |(Az/||z||, z/||z||)| × ||z||² £ ||z||² × sup|(Az/||z||, z/||z||)|,

т.е. |(Az, z)| £ m||z||² и теперь рассмотрим разность:

(A(х + у), х + у) – (А(х – у), х – у) = (Ах, х) + (Ах, у) + (Ау, х) + (Ау, у) – (Ах, х) + (Ах, у) + (Ау, х) – (Ау, у) = 2(Ах, у) + 2(Ау, х) = 2((Ах, у) + (у, Ах)) = 2((Ах, у) + ( )) = 4Re(Ах, у), т. е. 4Re(Ах, у) = (A(x + y), x + y) – (А(х – у), х – у).

Тогда:

4|Re(Ах, у)| = |(A(x + y), x + y) – (А(х – у), х – у)| £ |(A(x + y), x + y)| + |(А(х– у), х– у)| £

£ m((x+ y, x + y) + (х– у, х– у)) = m((x, x) + (y, y)+ (х, у)+ (y, x) + (x, x) +(y, y) – (x, y) – (y, x)) =

= 2m((x, x) + (y, y)) = 2m (||x||² + ||y||²). Отсюда, при ||x|| = ||y|| = 1

4|Re(Ах, у)| £ 4m Þ| Re(Ах, у)| £ m.

Положим теперь (очевидно ||y|| = 1):

.

Тогда , т.е. ||А|| £ m.

В 1) и 2) доказано, что ||А|| ³ m и ||А|| £ m, т.е. ||А|| = m = ▶