Понятие коллинеарных векторов

Определение: Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными.

Замечание:Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Þ и коллинеарные Þ и коллинеарные

Векторы векторы

Вывод: Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Необходимый и достаточный признак коллинеарности двух векторов.

Теорема: Для того, чтобы вектор был коллинеарен ненулевому вектору , необходимо и достаточно, чтобы существовало число к , удовлетворяющее условию .

Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам

Теорема: Любой вектор может быть представлен и, притом, единственным образом, в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных векторов и .

Дано: и неколлинеарны;

- произвольный вектор плоскости.

Доказать:

1. существует;

2. единственным образом.

Доказательство:

1. Докажем, что разложение существует.

Пусть и коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов . Значит, верно равенство .

Пусть и коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов . Значит, верно равенство .

Пусть неколлинеарен векторам и ( ; ).

Через конец вектора проведем прямые, параллельные векторам и . Прямые, которым принадлежат векторы и , продолжим до пересечения с построенными прямыми, достраивая параллелограмм ОАМВ.

;

и коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов .

и коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов .

; , что и требовалось доказать.

2. Единственность разложения доказывается методом от противного.

Замечание:Если , то говорят, что вектор разложен по векторам и .

Базис плоскости. Декартова система координат на плоскости.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение: Базисом плоскости называется пара неколлинеарных векторов этой плоскости, взятых в определенном порядке.

– базис плоскости, где .

Определение: Декартовой системой координат на плоскости называется множество, состоящее из точки О и базиса плоскости.

– декартова система координат на плоскости .

О – начало координат;

О х – ось абсцисс;

О у – ось ординат.

Замечание:Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам и : . Числа х и у называются координатами вектора в данной декартовой системе координат.

Определение: Декартова система координат на плоскости называется прямоугольной, если базисные векторы взаимно перпендикулярны и единичны.

– прямоугольная декартова система координат на плоскости.

.

О – начало координат;

Ох – ось абсцисс;

Оу – ось ординат.

Замечание:

1. Базисные векторы в прямоугольной декартовой системе координат называются ортами.

2. Любой вектор может быть единственным образом разложен по ортам : . Числа х и у являются координатами вектора в данной прямоугольной декартовой системе координат.

Упражнения:

1. Доказать, что и коллинеарны.

2. В прямоугольнике АВСD проведены диагонали АС и ВD , пересекающиеся в точке О. , . Выразить через и следующие векторы:

4. Декартова система координат в пространстве

4. 1. Понятие компланарных векторов

Определение: Ненулевые вектора называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.

Замечание:Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут и не быть компланарными.

Векторы компланарны, а векторы компланарными не являются.

4. 2. Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам

Теорема: Если даны три некомпланарных вектора , то любой вектор можно разложить по векторам единственным образом.

Дано: - некомпланарные векторы;

- произвольный вектор пространства.

Доказать: 1. - существует;

2. - единственное.