Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Равенство нулю обеспечено, если угол между векторами -+пи\2

Векторное произведение

Векторным произведением ненулевых векторов Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru и Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru называется вектор Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , обозначаемый символом Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru или Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , длина которого Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru

8 Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru векторов Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru — скалярное произведение вектора Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru на векторное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru и Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru :

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru .

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru .

· Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru

· Смешанное произведение Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru и Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru :

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru

· Смешанное произведение Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru и Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , взятому со знаком «минус»:

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru

Применение:1) можно узнать компланарны ли векторы. Если abc=0, то векторы в одной плоскости.

Правая и левая тройки векторов

Определение

Три некомпланарных вектора Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru и Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , приведенных к общему началу, образуют так называемую связку трех векторов (или тройку векторов).

Тройка векторов называется упорядоченной, если четко сказано, какой вектор в ней идет первым, и так далее.

Тройка векторов Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru и Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru называется левой, если поворот от вектора Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru к вектору Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , видимый с конца третьего вектора Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , осуществляется по ходу часовой стрелки (рис. 1).

Тройка векторов Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru и Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru называется правой, если поворот от вектора Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru к вектору Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , видимый с конца третьего вектора Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , осуществляется против хода часовой стрелки (рис. 2).

3) Смешанным произведением трех векторов Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru называется число, равное скалярному произведению вектора Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru на вектор Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru : Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть заданы:

а) точка Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru на оси ординат;

б) угол Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru (рис.3.21,а).

Требуется составить уравнение прямой, пересекающей ось ординат в заданной точке и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол заданной величины Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru .

Величину, равную тангенсу угла Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс, называют угловым коэффициентом прямой и обозначают Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru (рис.3.21,а).

Выберем на прямой произвольную точку Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , отличную от Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , т.е. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru . Запишем уравнение (3.16) при Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru :

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru

Отсюда

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru

Подставляя Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , получаем уравнение

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru

(3.18)


которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (или уравнением прямой, разрешенным относительно Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru ). Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru

где Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru и Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru — произвольные постоянные, причем постоянные Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru и Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru не равны нулю одновременно.

При Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru прямая параллельна оси Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , при Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru — параллельна оси Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru .

Вектор с координатами Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru прямая проходит через начало координат.

Также уравнение можно переписать в виде

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru

Пусть Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru -- некоторая точка плоскости Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru (рис. 11.1). Иногда говорят "текущая точка" плоскости, так как предполагается, что ее координаты меняются и точка пробегает всю плоскость.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru

Вектор Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru лежит на плоскости Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru . Следовательно, вектор Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru ортогонален вектору n. Если же взять точку Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , не лежащую на плоскости Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , то вектор Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения (свойство 8, теорема 10.2), то условием того, что точка Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru лежит в плоскости Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , является выполнение равенства

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru (11.2)


Выразив скалярное произведение в левой части этого равенства через координаты сомножителей по формуле (10.1), получим формулу (11.1).

Пусть r -- радиус-вектор текущей точки Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru плоскости Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru , Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru -- радиус-вектор точки Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru . Тогда уравнение (11.2) можно переписать в виде

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru

Такое уравнение обычно называют векторным уравнением плоскости Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru .

Раскроем скобки в уравнении (11.1). Так как точка Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru -- фиксированная, то выражение Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru является числом, которое обозначим буквой Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru . Тогда уравнение (11.1) принимает вид

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru (11.3)


Такое уравнение называется общим уравнением плоскости. Еще раз отметим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru отличен от нуля, так как Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru .



Взаимное расположение двух плоскостей (формулировки и примеры)
 
 
Взаимное расположение двух плоскостей характеризуется двумя возможностями. 1). Две плоскости не имеют общих точек, и , в таком случае, они называются параллельными (на рис. 28 Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru ||). Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, и в таком случае они называются пересекающимися. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат обе общие точки этих плоскостей (аксиома). Таким образом, две плоскости пересекаются по прямой (на рис. 28 Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru и Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru пересекаются по прямой a, a и Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b. - student2.ru - по прямой b). Пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. Если один из них прямой, тогда и остальные углы тоже прямые, а плоскости называются перпендикулярными. В качестве параллельных плоскостей на каждом шагу встречаем параллельные грани одного дома. Плоскости стен домов перпендикулярны плоскости земли.
 
 

Наши рекомендации