Собственные векторы и собственные значения

Ранг матрицы

Если определитель – числовая характеристика, определяемая только для квадратной матрицы, то для произвольной матрицы можно ввести числовую характеристику, называемую рангом матрицы. Рассмотрим для некоторой матрицы A размера всевозможные квадратные матрицы, полученные из A вычеркиванием строк и столбцов. Пусть существует такая квадратная матрица, размера ( ), определитель которой отличен от нуля, в то время как все квадратные матрицы большего размера имеют нулевые определители. Тогда говорят, что матрица A имеет ранг, равный p( ).

Справедлива следующая теорема: система

совместна (то есть имеет решения) тогда и только тогда, когда ранги главной матрицы системы

и расширенной матрицы системы

совпадают.

Прямые на плоскости и плоскости в пространствеПродемонстрируем, как теория линейных систем иллюстрируется геометрическими примерами. Рассмотрим множество точек плоскости XOY. Как известно, каждая точка на плоскости может быть задана с помощью двух декартовых координат и , которые являются координатами проекций точки на координатные оси.

Простейшей плоской кривой является прямая – геометрическое место точек, соединив любые две из которых, мы получим отрезок, параллельный заданному вектору.

Рассмотрим прямую в плоскости XOY. Фиксировать прямую, параллельную данному вектору с координатами мы сможем, задав одну точку с координатами , через которую прямая проходит. Выберем на прямой произвольную точку с координатами . Тогда из подобия соответствующих треугольников имеем

. (1)

Вводя угловой коэффициент прямой (тангенс угла, образуемого прямой с положительным направлением ), мы получим из (1) уравнение прямой с угловым коэффициентом: . Приравнивая нулю координаты направляющего вектора и , получим прямые, параллельные координатным осям: и . Прямая на плоскости может задаваться не только точкой и направляющим вектором, но и двумя различными точками.

Составляя пропорции сторон подобных треугольников, получим соотношение . Это линейное соотношение представляет собой уравнение прямой, проходящей через две различные точки.

Любая прямая на плоскости XOY представляется линейным уравнением вида . И наоборот, любое линейное уравнение вида описывает прямую на плоскости XOY.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости.Рассмотрим две прямые, задаваемы уравнениями и .

Возможны следующие случаи взаимного расположения этих прямых: 1) прямые совпадают, 2) прямые параллельны, 3) прямые пересекаются в одной точке. Исследуем соотношение между коэффициентами уравнений прямых в каждом из перечисленных случаев.

В случае 1) оба уравнения, описывающие одну и ту же прямую, должны совпадать или отличаться коэффициентом, на который можно сократить.

Таким образом, в данном случае .

В случае 2) угловые коэффициенты обеих прямых одинаковы. То есть,

. Отсюда получим условие параллельности: .

В случае 3) угловые коэффициенты прямых разные, то есть, , и

следовательно, прямые пересекаются в одной точке.

Найти точку пересечения двух прямых и – это значит, найти решение системы

Случай означает, что и главная матрица системы, и расширенная матрица системы имеют одинаковый ранг 1. Поэтому, хотя главный определитель системы равен нулю, система разрешима и имеет бесконечное множество решений.

Случай означает, что главный определитель системы равен нулю, при этом главная матрица системы имеет ранг 1, а расширенная матрица системы имеет ранг 2, поэтому система не имеет решений.

Случай означает, что главный определитель системы отличен от нуля, и следовательно, единственное решение системы можно найти, например, с помощью правила Крамера.

Точка в пространстве XYZзадается уже тремя декартовыми координатами , которые являются проекциями точки на соответствующие оси координат. Простейшей из пространственных поверхностей является плоскость – геометрическое место таких точек, что отрезок, соединяющий любые две из них, перпендикулярен данному вектору, называемому нормалью к плоскости.

Зададим плоскость с данной нормалью с помощью точки с координатами , лежащей в этой плоскости.

Если взять произвольную, отличную от , точку M с координатами в данной плоскости, то согласно определению и условию взаимной перпендикулярности двух векторов (скалярное произведение этих векторов равно нулю) имеем . Используя координаты этих векторов получим условие взаимной перпендикулярности в виде .

Последнее уравнение и есть уравнение плоскости, проходящей через данную точку. В частности, уравнения плоскостей, параллельных координатным плоскостям, имеют вид , или .

Любая плоскость в пространстве XYZ представляется линейным уравнением вида . И наоборот, любое линейное уравнение задает плоскость.

Взаимное расположение двух плоскостей.Две плоскости, представленные уравнениями и могут 1) совпадать, 2) быть параллельными, 3) пересекаться.

В случае 1) коэффициенты в уравнениях плоскостей могут отличаться только сомножителем, на который можно сократить. Это означает, что должно выполняться соотношение .

В случае 2) нормальные векторы обеих плоскостей должны совпадать, или быть параллельными, но уравнения должны оставаться различными за счет свободных членов. Следовательно, должно выполняться соотношение .

В случае 3) нормальные векторы плоскостей не должны быть параллельными.

Геометрическим местом точек пересечения плоскостей является прямая.

Взаимное расположение трех плоскостей.Вариантов взаимного расположения трех плоскостей значительно больше, чем двух. Мы рассмотрим случаи, когда любые две плоскости из трех не являются ни параллельными, ни, тем более, совпадающими. Это значит, что каждые две плоскости пересекаются вдоль прямой. Выберем какие-то две плоскости и рассмотрим случаи, когда 1) их общая прямая не пересекается с третьей плоскостью, 2) у трех плоскостей общая прямая пересечения, 3) их общая прямая пересекается с третьей плоскостью.

В случае 1) все три прямые, получаемые попарным пересечением плоскостей, параллельны.

Это значит, что все три вектора нормалей к плоскостям можно расположить в одной плоскости, перпендикулярной к трем параллельным прямым. В этом случае , так как один из векторов нормалей является линейной комбинацией двух других.

В случае 2) все три вектора нормалей также можно расположить в одной плоскости – и тот же определитель из коэффициентов равен нулю.

В случае 3) , и общая прямая двух плоскостей пересекает третью плоскость в единственной точке.

Найдемточку пересечения трех плоскостей , и –это значит, найти решение системы

В соответствии с изложенным единственное решение системы возможно только в случае отличия от нуля главного определителя системы: .

n-мерные пространства.

n-мерным пространством мы будем называть пространство точек , каждая из которых задается n координатами: . Расстояние между точками и в таком пространстве определяется следующим образом: . В частности, формула для расстояния между точками используется при сравнении объектов с идеалом по n признакам.

Линейные отображения.

Линейным отображением векторного пространства в векторное пространство называется такое отображение, что для любых двух векторов и из пространства и любых двух вещественных чисел и справедливо:

.

Любое линейное отображение -мерного пространства в -мерное задается некоторой матрицей размера и наоборот, любая матрица размера задает линейное отображение -мерного пространства в -мерное.

Действительно, возьмем произвольную матрицу размера .Ее можно умножить на -мерный вектор , рассматриваемый в вида матрицы-столбца размером . Результатом умножения будет матрица-столбец размером , то есть, -мерный вектор . Имеем , где

, , .

То, что отображение, задаваемое умножением вектора на матрицу, является линейным, следует из свойств сумм и произведений матриц.

В частности, линейное отображение -мерного пространства на множество вещественных чисел (одномерное пространство) задается матрицей-строкой размера .

Собственные векторы и собственные значения

Предположим, что мы имеем отображение из пространства в пространство , задаваемое квадратной матрицей . В ряде задач бывает необходимо найти такой ненулевой вектор , что , где ­– вещественное число. Такое число называется собственным значениемматрицы , а вектор называется соответствующим этому собственному значению собственным вектором. Попробуем найти собственное число и собственный вектор матрицы . Обозначим координаты искомого собственного вектора . Тогда из определения собственного вектора следует

Перенесем все неизвестные в левые части уравнений системы, и получим

Если главный определитель последней системы отличен от нуля, согласно формулам Крамера мы сможем получить только нулевые значения неизвестных, однако собственный вектор не должен быть нулевым. Остается только приравнять нулю главный определитель системы. Так как

, приравнивая главный определитель нулю, получим уравнение , называемое характеристическим уравнением.В нашем примере характеристическое уравнение имеет 3 корня. Найдем, например, собственный вектор, соответствующий собственному значению . Координаты этого вектора удовлетворяют системе причем одно из уравнений системы можно отбросить, так как оно получается из двух других. Из соотношений получим . Таким образом, собственный вектор, соответствующий собственному значению , с точностью до растяжения равен .

В общем случае, когда работаем с матрицей размера , характеристическое уравнение имеет вид .