Свойства определителей. Из этого свойства следует, что строки и столбцы в определителе равноправны
6°. detA = detAT.
◀ 
. ▶
Из этого свойства следует, что строки и столбцы в определителе равноправны. И все свойства для столбцов будут справедливы для строк и наоборот. Все последующие свойства сформулированы для столбцов матрицы, но * у слова столбец означает, что вместо этого слова можно написать слова строка.
7°. Если один из столбцов* определителя равен нулю, то определитель равен нулю.
◀ j(x1, …, θ , …, xn) = j(x1, …, 0×хk, …, xn) = 0×j(x1, x2, …, xn) = 0. ▶
8°. 
.
◀ j(x1, x2, …, xk´ + xk, …, xn) = j(x1, x2, …, xk´, …, xn) + j(x1, x2, …, xk, …, xn). ▶
9°. Общий множитель в столбце * определителя можно выносить за знак определителя.
◀ j(x1, x2, …, axk, …, xn) = aj(x1, x2, …, xk, …, xn). ▶
10°. Если в определителе поменять два столбца * местами определитель поменяет знак.
◀ j(x1, …, xe,…, xm, …, xn) = – j(x1, …, xm, …, xe, …, xn). ▶
11°. Определитель, имеющий два равных столбца * равен нулю.
◀ Действительно, если поменять местами два столбца, то detA не изменится, ибо они одинаковы, а с другой стороны detA поменяет знак из-за антисимметричности. Следовательно, detA = 0. ▶
12°. Если столбцы* матрицы линейно зависимы, то detA = 0.
◀ Пусть х1 = 
. Тогда j(x1, x2, …, xn) =
= 
= 0. ▶
Если в матрице Am´n зафиксировать к строк и к столбцов (k ≤ min(m, n)), то определитель k-порядка матрицы из элементов Am´n, стоящих в выбранных строках и столбцах называются минором k-порядка.
Если у detA порядка n, вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец, то оставшиеся элементы образуют матрицу (n – 1) порядка. Ее определитель – минор (n – 1)го порядка и обозначается Mij, а величина Aij = (–1)i+jMij называется алгебраическим дополнением к элементу аij.
13°. 
.
◀ 
=
I. 
;
II. 
;
….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..
n. 
.
Следовательно: detA= … = a11A11 + a21A22 + … + an1An1. ▶
Это все можно проделать не только для первого столбца, а и для 2го, 3го, … , nго столбцов и аналогично для строк.
14°. 
.
◀ 
. ▶
15°. Определитель матрицы не изменится, если к столбцу * добавить линейную комбинацию других столбцов *.
◀ j(x1 + a2x2 + … + anxn, x2, … , xn) = j(x1, x2, …, xn) + a1j(x2, …, xn) + a3(x3, x2, …, xn) +
+ an(xn, x2,…, xn) = j(x1,x2,…,xn ) . ▶
16°. При умножении матрицы на a, ее определитель умножается на an :det(Aa) = an detA.
◀ j(ax1, ax2 , … , axn) = a×a … aj(x1, x2, …, xn) = anj(x1, x2, …, xn). ▶
17°. Определитель произведения двух матриц произведению определителей сомножителей detA×B = detC = detA ×detB. (C = A×B Û сij = 
).
◀ detC = 
= 
=
= 
. ▶
Пример вычисления определителя
Вычислить определитель 5го порядка:
–24(104 – 61) = –24×43 = –1032.
Теорема Лапласа
Пусть задана квадратная матрица Ann. Выберем в матрице A k-строк i1, i2, …, ik и k-столбцов j1, j2, ... jk. Определитель матрицы образованной элементами, стоящими на пересечении выбранных столбцов и строк называется минором kго порядка и обозначается 
. Если из матрицы А вычеркнуть выбранные строки и столбцы то определитель оставшейся матрицы называется минором дополнительным к минору и обозначается 
.
Величина 
называется алгебраическим дополнением к минору и обозначается 
.
18°. Теорема Лапласа.
detA = 
.
Суммирование здесь производится по всем минорам kго порядка, стоящим в выбранных k-строках или в выбранных k–столбцах. ◀ ▶
Пример. Вычислить следующий определитель раскрывая его по минорам второго порядка, стоящим во второй и третьей строках определителя:
Существует шесть различных миноров второго порядка, стоящих в указанных строках:
M12= 
; M13= 
; M14= 
; M23= 
; M24= 
; M34= 
.
Дополнительные к ним миноры:
; 
; 
; 
; 
; 
.
Найдем соответствующие алгебраические дополнения:
A12 = (-1)2+3+3+4 M34 = M34; A13 = (-1)2+3+2+4 M24 = -M24; A14 = (-1)2+3+2+3 M23 = M23; A23 = (-1)2+3+1+4 M14 = M14; A24 = (-1)2+3+1+3 M13 = -M13; A34 = (-1)2+3+1+2 M12 = M12.
Теперь, используя теорему Лапласа, можно записать:
D = M12A12 + M13A13 + M14A14 + M23A23 + M24A24 + M34A34 = M12M34 - M13M24 + M14M23 + + M23M14 - M24M13 + M34M12 = 2 ( M12M34 - M13M24 + M14M23 ) = 2 (-13×54+12×45-9×11) = –522.