Свойства определителей

1. Определитель равен нулю, если содержит:

- нулевую строку или нулевой столбец;

- две одинаковые строки (столбца);

- две пропорциональных строки (столбца).

Пример:

Свойства определителей - student2.ru = 0; Свойства определителей - student2.ru = 0; Свойства определителей - student2.ru = 0; III = I × (-3).

2. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Пример:

Свойства определителей - student2.ru = 2× Свойства определителей - student2.ru = 2×(30+24+4‒24+8+15) = 2×57= 114.

3. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца) умноженные на одно число.

Пример:

Свойства определителей - student2.ru I × 5 + II; I × (‒2) + III; I × (‒ 4) + IV;

= Свойства определителей - student2.ru = 1×(–1)1+3× Свойства определителей - student2.ru .

Вырожденные и невырожденные матрицы, обратная матрица.

Матрица А-1называется обратной к матрице A, если при умножении ее на матрицу A, как справа, так и слева, получится единичная матрица.

А-1×A=A× А-1=E

Матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен 0, и называется вырожденной, если ее определитель равен 0.

Теорема.

Обратная матрица А-1существует только тогда, когда матрица невырожденная, т.е. |A| ≠ 0.

Алгоритм нахождения.

1. Найти определитель матрицы А.

Если │A│= 0, то обратная матрица не существует, если │A│≠ 0, то перейти ко второму шагу.

2. Найти матрицу AT, транспонированную к матрице А.

3. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы AT и составить из них матрицу Ã, которая называется присоединенной.

à = Свойства определителей - student2.ru

4. Обратную матрицу найти по формуле:

Свойства определителей - student2.ru

5. Сделать проверку А-1 × A = E

Решение матричных уравнений.

Матричное уравнение имеет вид:

A × Х= B

Умножим обе части уравнения на матрицу А-1 слева:

А-1× A ×Х = А-1 × В.

Так как А-1×А=Е, то Е×Х = А-1×В.

Так какЕ × Х=X, то Х= А-1×В

Пример:

Дано:

А = Свойства определителей - student2.ru ;

В = Свойства определителей - student2.ru ;

Найти:

X ‒?

Решение:

1) │А│= Свойства определителей - student2.ru

2) AT= Свойства определителей - student2.ru .

3) Свойства определителей - student2.ru

Свойства определителей - student2.ru

Свойства определителей - student2.ru

Свойства определителей - student2.ru

Ã= Свойства определителей - student2.ru .

4) А-1 = Свойства определителей - student2.ru × Ã = Свойства определителей - student2.ru × Свойства определителей - student2.ru = Свойства определителей - student2.ru

Х= А-1× B = Свойства определителей - student2.ru

Свойства определителей - student2.ru

Ответ: Свойства определителей - student2.ru

Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы.

Рангом матрицы называется наивысший порядок не равных нулю миноров этой матрицы.

Обозначается rang (A) или r (A).

Теорема 1. Ранг матрицы не превосходит наименьшего из ее размеров.

r(A) ≤ min (m; n)

Пример:

А2×3 = Свойства определителей - student2.ru ;

r (A) ≤ min (2; 3) = 2, т. е. согласно теореме r (A) ≤ 2.

Свойства определителей - student2.ru = 3 + 24 = 27 ¹ 0; =>r (A) = 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема 2. Ранг квадратной матрицы n-го порядка равен ее порядку, если она не вырожденная.

Примеры:

1)А3×3 = Свойства определителей - student2.ru ; r (A) ≤ 3.

│А│= Свойства определителей - student2.ru = 24 + 0 – 4 + 4 – 18 – 0 = 6 ¹ 0 Свойства определителей - student2.ru матрица не вырожденная Свойства определителей - student2.ru r (A) = 3.

2)А3×3 = Свойства определителей - student2.ru ; │А│= 0, т.к. III = I × (– 3) Свойства определителей - student2.ru r (A) < 3.

Свойства определителей - student2.ru = 0 + 5 = 5 ¹ 0 Свойства определителей - student2.ru r (A) = 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема 3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Элементарные преобразования матрицы.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

1. Изменение порядка строк (столбцов).

2. Отбрасывание нулевых строк (столбцов).

3. Умножение элементов любой строки (столбца) на одно число.

4. Прибавление к элементам любой строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно число.

Системы линейных алгебраических уравнений СЛУ (Основные понятия и определения).

1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:

Свойства определителей - student2.ru

2. Решением системы уравнений (1) называется совокупность чисел x1, x2, … , xn, обращающая каждое уравнение системы в тождество.

3. Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной.

4. Система уравнений (1) называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если у нее более одного решения.

5. В результате элементарных преобразований система (1) преобразуется к равносильной ей системе (т.е. имеющей то же множество решений).

К элементарным преобразованиям систем линейных уравнений относятся:

1. Отбрасывание нулевых строк.

2. Изменение порядка строк.

3. Прибавление к элементам любой строки элементов другой строки, умноженных на одно число.

Наши рекомендации