Основные свойства определителей

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т.е. транспонировать):

.

Например, . Это свойство называют свойством равноправности строк и столбцов.

2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный.

.

3. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя: .

4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.

Например,

Из свойств 3 и 4 вытекают следующее свойство:

5. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

6. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины:

.

7. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали:

.